漫谈选择题评分中的倒扣

标准化考试是国际上广为流行的考试方法。

选择题是标准化考试中最常采用的题型。从题目的结构看，一般分为两部分；一部分是提出或陈述一个问题，一部分是备选答案，包含一个正确答案及几个错误答案。

虽然选择题作为考试的题型，有着许多优点，但也存在一个严重的不足， 即难免有“碰运气”的成份。具体地说，对一个一无所知的人来说，单凭机遇也可能碰上正确答案。

事实上，一道λ态的选择题，随机选取恰好碰上几道正确的答案的概率

是

1 1

（ λ ），碰到不正确答案的概率是（1- λ ）。假定共有n道这样的选择题，

那么光凭机遇随机选对 k 题的概率：

P (k) = C^k ·(

1

)(1 −

1 ) n−k

n n λ λ

具体些，如果我们有十道题，每道题有四种选择，即 n＝10，λ＝4。那么，可以一个个算出，随机选对 k 题的概率，列成下表：

从表上容易看出，光凭机遇选对两题或三题的可能性占了过半，如果这也“给分”的话，显然是不够合理的。正是由于存在这种不合理性，所以许多国家的考试组织者，都对各种考试作了形式各异的弥补性规定。如美国中学数学竞赛，共有 30 道选择题，每卷给 30 分基本分，以平衡随机得分。只

有全错才得零分，但全错的可能性是极少的。又如我国 28 省市自治区的数学

联赛试题，对选择题得分作如下规定：答对得全分，答错得 0 分，不答得 1 分。这主要是鼓励学生“知为知，不知为不知”，不要去做冒险的事。再如1983 年高考的物理试卷中的选择题就规定：选对的，得 3 分，不选的，得 0

分，选错的倒扣 1 分。

上面的众多规定，既有合理的一面，也都有不尽合理的地方。从科学的角度看，要让那些碰运气选题的人得不到分，才算合理。为此，我们必须去求靠碰运气最可能会选对的题数 k*，这相当于解以下不等式组：

P(k)〉P( k + 1)

P(k) ≥ P( k − 1)

仅限于初中的知识，要解上面不等式组还有一定困难，但解得的结果却是很简单的。（方括号[x] 表示不超过 x 的最大整数）

在前面例中

n + 1

k =  λ 

k = 10 + 1 = 2

 4 

这与表中查到的相应概率的最大值是一致的。

当 k*确定之后，我们便可以设置扣分，使得选对 k*题的人，得不到分数。科学的倒扣法有两种：

第一种方法：

设答对一题得 r 分，答错一道题得 0 分，每卷以-k*r 为基本分，且总得分不取负值。显然，全对者得（n-k*）r，即为满分。如前例中的十道题，假定每道题答对得 5 分，由于 k*=2，所以基本分可定为-2×5＝-10 分，满分为40 分。

第二种方法：

设答对一道题得 r 分，答错一题反扣 t 分，基分为 0。t 的选取，要使选对 k*题的人，得不到分数（因为我们认为他是纯粹靠运气选对的）。因此， 该卷所得分数应与所扣分数相当，即 k*r＝（n-k*）t 算得：

r n n

t = k − 1 =

n + 1 − 1

[ λ ]

对于多项选择题，随着项数λ的增大，靠机遇选对的题数 k*相应减少， 对于这种情形，即使不设置倒扣，也不致于对总分造成过大的影响。

从 k*的计算式可以看出，要减少 k*的途径有两条，一是减少题目数，二是增大项数。减少题的数量是没有实际意义的，而增大备选答案的个数，又为设计题目造成了困难。怎么办呢？最近，有的考试采用了一种叫做“多解选择”的办法，每个备选答案都可能是正确或错误的（与单一选择的区别是， 不是只有一个答案正确）。这样，λ个备选答案，每个答案都有“取”与“不取”两种选择，共有 2×2×2×⋯×2=2λ种选取的方法。除去都不选的一种情形，实际项数有：

λ*=2λ-1。这显然比单一选择的项数要高得多，例如，备选答案只有三个的多解选择，实际态数λ*＝23-1=7。态数这样高，随机选对的可能性势必很小，因而，多解选择一般是没有必要去设置倒扣的。