布朗运动

公元 1827 年，英国生物学家布朗（Brown，1773～1858），用显微镜观看悬浮在一滴水中的花粉，发现它们像醉鬼走路一样，各自作毫无规则的运动。后来人们才知道，花粉之所以会不停息地作无序运动，是由于受水分子各方面不平衡撞击的结果，由于这个现象是布朗先生首先发现的，所以后人称它为布朗运动。

布朗运动中的花粉，像醉鬼走路一般，完全不规则。那么醉鬼是怎么行动的呢？美国著名物理学家 G·盖莫夫教授对此作了极为生动的描述：假定在某个广场的某个灯柱上靠着一个醉鬼，他突然打算走动一下，看他是怎么走的吧！先是朝一个方向颠簸几步，然后又折转方向再颠簸了几步，如此这般，每走几步就随意折一个方向。每次折转方向都是事先无法加以预计的。为了研究醉鬼的行动规律，盖莫夫教授假想广场上有一个以灯柱脚为原点的直角坐标系。醉鬼所走的第 n 个分段在两轴上的投影分别为 Yn，Yn。于是， 走 n 段后醉鬼与灯柱的距离 R 满足：

R2＝（x1＋x2＋⋯＋xn）2（y1＋y2＋⋯＋yn）2

注意到醉鬼的走路是无规则的，他朝灯柱走和背灯柱走的可能性相等。因此，在 X 的各个取值中，正负参半。这样，在上式右端的第一项展开中， 所有的两两乘积里，总可以找出大致数值相等符号相反，可以互相抵消的一对数来。n 的数目越大，这种抵消越彻底。因此，对于

很大的 n，我们有：

（x1＋x2＋⋯＋xn）2≈x21＋x22＋⋯＋x2n＝nx2

这里 x 是醉鬼所走各段路程在 x 轴上投影的均方根值。对 y，我们也可以得出同样的结果，即

（y1＋y2＋⋯＋yn）2≈y21＋y22＋⋯＋y2n＝ny2 于是 R2≈n（x2＋y2）

或 R≈

后式相当于醉鬼走每段路的平均路程长 d，代入可得

R ≈ nd

这就是说，醉鬼在走了许多段不规则的弯曲路程后，距灯柱最可能的距离为各段路程的平均长度，乘以路段数的平方根。

注意上面我们是运用了统计规律，对某个醉鬼来说，他走 n 段路，未必

就

距离灯柱

nd。但如果有一大群醉鬼，互不干扰地从灯柱出发，颠颠簸簸地走

各自的弯弯路，那么他们距灯柱的平均值，就接近于

律越精确。

nd。人数越多，这种规

通过对布朗运动的理论分析，可以看出大量的无序运动中同样也含着相当精确的有规则的结果。这就是偶然中的必然——统计规律的本质。