威廉·向克斯的憾事
圆周率π是圆周长与直径的比值。公元前三世纪,古希腊著名学者阿基洣德(Archimada 公元前 287~212 年)计算出π≈3.14。公元 263 年前后, 我国魏晋时期的数学家刘徽,利用割圆术计算了圆内接正 3072 边形的面积,
求得π≈ 3927 = 3.1416。又过了约两百年,我国南北朝时期杰出的数学家祖1250
冲之(429~500)确定了π的真值在 3.1415926 与 3.1415927 之间。
祖冲之之后的第一个重大突破,是阿拉伯数学家阿尔·卡西,他计算了圆内接和外切正 3×228=805306368 边形的周长后得出:
π≈3.1415926535897932
公元 1610 年,德国人鲁道夫(1540~1610)把π算到了小数点后 35 位。往后,记录一个接一个地被刷新:1706 年,π的计算越过了百位大关,1842 年达到了 200 位,1854 年突破了 400 位,⋯⋯
1872 年,英国学者威廉·向克斯(1812~1882)花费了整整二十个年头
把π的值算到了小数点后 707 位。向克斯死后,人们纪念他,就在他的墓碑
上刻下了他一生心血的结晶:π的 707 位小数。此后半个多世纪,人们对威
廉·向克斯的计算结果深信不疑,以至于在 1937 年巴黎博览会发现馆的天井里,依然显赫地刻着向克斯的π值。
又过了若干年,数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑,他认为在
π
的数值式中,各数码出现的概率都应当等于 1
10
。于是,他统计了威廉·向克
斯π的头 608 位小数中,各数码出现的情况:
数码 |
出现次数 |
出现频率 |
与设想频率相差 |
---|---|---|---|
0 |
60 |
0.099 |
-0.001 |
1 |
62 |
0.102 |
+ 0.002 |
2 |
67 |
0.110 |
+0.010 |
3 |
68 |
0.112 |
+ 0.012 |
4 |
64 |
0.105 |
+0.005 |
5 |
56 |
0.092 |
-0.008 |
6 |
62 |
0.102 |
+0.002 |
7 |
44 |
0.072 |
-0.028 |
8 |
85 |
0.095 |
-0.005 |
9 |
67 |
0.110 |
+0.010 |
608 |
1.000 |
法格逊觉得:向克斯计算的π,数码出现的次数不基本相同,可能是计算有错。于是,他下定决心,用当时最先进的计算工具,从 1944 年 5 月到
1945 年 5 月,整整算了一年,终于发现:向克斯π的 707 位小数中,只有前
527 位是正确的,由于从当初向克斯没有发现,使他白白浪费了许多年的光阴,这真是色。终生的憾事。法格逊的成就,基于他的一个猜想,即在π值的数值式中各数码出现的概率相等。尽管这个猜想曾导致法格逊发现并纠正
了向克斯的错误,然而猜想毕竟不等于事实!法格逊想验证它,却无能为力, 人们想验证它,又苦于已知π的位数太少。
但是情况很快有了转机,随着电子计算机的出现和应用,计算π的值有了飞速进展。1961 年,美国学者丹尼尔和伦奇把π算到了小数点后 100265 位,20 年后,日本人又把记录推过了 200000 位大关。于是,人们的心中又重新燃起了验证法格逊猜想的希望之火。1973 年,法国学者让·盖尤与芳旦娜小姐合作,对π的前一百万位小数中各数码出现的频率,进行了有趣的统计,得出以下结果。
数码 |
出现次数 | 出现频率 |
---|---|---|
0 |
99959 |
0.1000 |
1 |
99758 |
0.0988 |
2 |
100026 |
0.1000 |
3 |
100229 |
0.1002 |
4 |
100230 |
0.1002 |
5 |
100359 |
0.1003 |
6 |
99548 |
0.0995 |
7 |
99800 |
0.0998 |
8 |
99885 |
0.1000 |
9 |
100106 |
0.1001 |
1000000 | 1.0000 |
从上表看出,尽管各数字出现也有某种起伏,但基本上平分秋色。看来, 法格逊的想法应当是正确的!在π的数值展开式中——各数字出现的概率是:
P(0)=P(1)=P(2)=⋯⋯=P(9)=0.1