巧解几何题

在平面解析几何中，利用坐标系的平移、旋转可简化二次曲线方程（即把一般式化为标准式）。利用旋转变换还可解一些几何问题，我们来看几个例子。

例 1 试证 XY 平面上不存在顶点全是有理点（两个坐标均系为有理数的点）的正三角形。

证 用反证法。设△OAN 是各顶点俱为有理点的正三角形，又设 A（X1， y1）、B（X2，y2）（图 1）。

今将△ABO 绕点 O 逆时针旋 60°，此时 A 旋至 B 处，而由坐标变换公式有：

x2 = x1 cos 60° − y1 sin60°

y + x sin 60° − y cos 60°

 2 1 1

x = 1 (x − 3y )

 2 2 1 1

即 1

 3x1 = 2y2 − y1

故

y ( 3x + y )

 3y1 = x1 − 2x2

 2 2 1 1

此两式右为有理数，而式左为无理数，这不可能！从而证明前设不真， 命题成立。

例 2 设 P 为正△ABC 内任一点，它到三顶点 A、B、C 的距离分别是 a、

b、c，试证S△ABC＝

/ 8·（a ² ＋b² ＋c² ）＋3 / 2·

p( p − a)( p − b)(p − c)，

这里 P=（a＋ b＋ c）/2（图 2）。

证 将△CPB 绕 B 旋 60°至△AEB 处；将△ACP 绕 C 旋 60°至△BCD 处； 将△APB 绕 A 旋 60°至△AFC 处；则 SAFCDBE＝2S△ABC。

连 PD、PE、PF，易证△PDB≌△PEA≌△PFC，且每个三角形三边分别为 a、b、c，又△AFP，△CPD、△PBE 是等边三角形，它们边长分别是 a、b、c。

上述六个小三角形面积和即 SAFCDBF，故

SAFCDBE ＝3 + 3(a ² + b² + c² ) / 4。这里p＝（a＋b＋c） / 2。

∴S△ 1

即上式右之半，证毕。

ABC = 2 SAFCDBE

例 3 已知六边形 ABCDEF 中∠A＝∠C=∠E＝120°，又 AN＝AF，CB=CD， ED＝EF，试证△ACE 为正三角形。（图 3-1）。

证 将△FAE 绕 A 顺时针旋转 120°，使 AF 与 AB 重合而至△ABG 处，连CG。

因∠A＝∠C=∠E= 120°，注意到∠D＋∠F＋∠B＝360°，又 DE＝EF＝ BG，DC＝BD，故△BGC 可视为△DEC 绕 C 逆时针旋转 120°的结果。

故由 AN＝AG，EC＝CG，AC＝AC，∴△ACE≌△ACG。

从而∠EAC＝∠CAG = 1 ∠EAG = 1 ×120°＝60°。

2 2

同理可证∠ECA＝∠ACG＝60°，故△ANC 是正三角形。还有一些问题，也可用旋转变换来解，比如：

1. 在△ABC 中 AB＝AC，D 为其内任一点，又∠ADB＞∠ADC，求证 DC DB。

（图 3－2）。

［提示：将△ABD 旋转到△ACD′位置］

1. 如图 AE 为正方形 ABCD 内一直线，AF 平分∠EAD，求证 DF＝AN－BE。

（见图 3－3）。

[提示：将△ADF 旋至△ABF′位置]