共轭无理数对在数学中的运用

像复数 a＋bi 和 a-bi（a、b 是实数）称为共轭复数对一样，我们称

p

p + q d和p

• q d（这里p、q为有理数， c、

d为无理数）为共轭无理

数对。

共轭复数在解题中（特别是解一些复数问题）用途很大，共轭无理数在解某些问题时用途也很大（因为它有一些特殊性质），这里先谈谈它在计算中的应用。

例1 计算 2 +

3 · 2 +

2 + 3 2 −

2 + 3 。

解 2＋ 2 + 3和2 - 2 + 3是共轭无理数对，且它们的积是2 - 3，而它

和2＋ 3又是一对共轭无理数，且它们的积是1。从而

原式 = 2 + 3 · = 1

注 1 这个结论可拓广为：

2 + 3· 2 +

2 + 3Λ Λ

n 重

n 重

= 1

注 2 我们还可以计算：

3 1 −

2 ·6

= 3 1 −

2 ·6

= 3 = 3

例 2 计算 log( 3- 2 ) ( +

= −1

1. )的值。

解 − 2和 + 2是一对共轭无理数，且它们互为倒数（它们之积为

1），

又 log 1 = −1 , (a〉0 , a ≠ 1) a

故原式=-1。

解这个结论可拓广为：

log (

a+1−

1. (

+ a) = −1

(a〉0)

由于共轭无理数对有些好性质，人们常去拟造一些级数求和问题。比如：

99

例3 求∑

k =1

1 的值。

解 考虑

• k 和它的共轭无理数

• k之积为1，这样

99

原式 = ∑(

k=1

k + 1 −

k ) = 9（注意前后项相消）。

注 这个结论可推广为：

若{ak}是公差为 d 的等差数列（k＝1，2，⋯，n），则

∑ 1

k=1

= ( −

a1 ) / d

我们再来看两个解方程的例子。

例4 解方程(

− 2 ) ^3x−7 = (

+ 2) 7x+3

解 由前面我们知道

数，这样原方程化为：

• 2与其共轭的无理数

− 2之积为1，即互为倒

( − 2 ) ^3x−7 = (

− 2 ) −7(x+ 3)

从而 3x- 7＝－（7x＋3），解得 x＝4/10。

例5 解方程( 2 +

3 ) ^x + ( 2 −

3 ) ^x = 4

解 仍注意到2＋

3与2 - 3互为倒数，故若令y＝( 2 +

1. ) ^x ，

则( 2 −

3 ) ^x = ( 2 +

3 ) −x = y −1

这时原方程化为：

y＋y-1＝4 即 y2-4y＋1＝0。

解得y＝2t± 3，从而求得x＝±2。

我们再看一个利用共轭无理数对性质求值的题目。

例6

b 的值。

若a、b分别表示（3 - 7）^-1的整数和小数部分，求a² ＋（1＋

7）a

解 由3 - 7和它的共轭无理数3＋ 7之积为2，

即有1 / （3 - 7） = （3＋ 7） / 2。

又因2＜

7＜3，故0＜（

- 1） / 2＜1。

再 1 / （3 - 7） = 2＋（ - 1） / 2从而a＝2 *

b＝（ - 1） / 2。

这样 a2＋（1＋ 7）ab＝4＋6＝10。

通过上面几例，我们已经看到共轭无理数对在计算中的应用。当然还不止这些，但我们毕竟可以从中窥见一斑了。更多的应用请有兴趣的读者去研究。

上文我们谈到了共轭无理数对在计算中的应用，本文打算谈谈它在证明中的应用，先来看一个例子。

例 1

1 个 0。

试证(

• 5)¹⁹⁸¹ 的小数表示中，小数点后紧接着至少有连续的198

证 为研究该问题我们先考虑

• 5的共轭无理数

- 5，由于它们的积

是 1 知它们互为倒数，即0〈 − 5 = 1 / ( + 5)〈1 / (5 + 5) = 1 / 10

这样(

− 5)¹⁹⁸¹ − (1 / 10)¹⁹⁸¹

(*)

又由于1981是奇数，知：若(

+ 5)¹⁹⁸¹ = a + b

26，

则( 26 + 5)¹⁹⁸¹ = a − b

26（这里a、b是整数），换句话说：

( + 5)¹⁹⁸¹ − (

− 5)¹⁹⁸¹ 是整数，或者(

+ 5)¹⁹⁸¹和(

− 5)¹⁹⁸¹ 的小

数部分相同，这样：

由（ * ）知(

• 5)¹⁹⁸¹的小数部分，小数点后至少有1981个0，从而(

+5）1981 小数部分小数点后至少有 1981 个 0。再来看一个例子。

例2 若a n =

• n，bn =

4n + 2试证：〔a n 〕＝〔bn 〕，这里〔x〕

表示不超过 x 的最大整数。

证欲证［an〕＝〔bn〕，只须证

| − (

+ n + 1)|〈1即可( 因为n〈

n( n + 1) 〈n

+ 1 , 4n + 1〈a ² 〈4n + 2 = b² )

考虑|

− ( +

n + 1)|

=|2n + 1 − 2

= 1 / [

n(n + 1) |/[

+ +

+

n + 1]·{1 / [2n + 1 + 2

n(n + 1) ]}

≤ 1 / [(2 + + n )(2n + 2n)]

= 1 / 16n n 〈1 (n ≥ 1)

从而〔an〕＝〔bn］。

利用共轭无理数对，有进还可以判断某些方程（特别是某些不定方程） 有无根。请看：

例 3 试证方程|x2-2y2|＝1 有无穷多组整数解。

证 考虑到（1＋ 2）（1- 2） = -1，故有

〔（1＋

2）（1- 2）〕ⁿ ＝（ - 1） ⁿ

若 设 xn + yn = (1 + 2 ) ⁿ

则 xn − y n

= (1 +

2 ) ⁿ

由是 x² − y ² = [(1 +

2)(1−

2 )]ⁿ = (−1) ⁿ

显然 xn，yn 是解。这样

yn = [(1 +

2 ) ⁿ − (1 −

2 ) ⁿ ] / 2

, (这里n = 1 , 2 , 3 , Λ Λ )

显然 xn，yn。都是整数，这由上面式子可以看出。再看一个例子。

例4

＝2＋

试证：不论x、y、z、t为何有理数时，等式(x＋y 5)⁴ ＋( z＋ t 5)⁴

均不成立（换句话说，该方程无有理解）。

证 我们只须注意到共轭无理数对a＋b c和a－b c的如下性质： 若（a＋b c） ⁿ ＝p＋q c，则（a - c） ⁿ ＝p－q c就行了（这

里a、b、p、q是有理数， c是无理数，但c是有理数）。

这样若题设成立，便有下式也成立：

(x − y

5)⁴ + ( z − t

5)⁴

= 2 −

但上式，式右大于 0，而式左小于 0，矛盾！故题设结论不能成立。

注 (a ± b c ) ⁿ = p ± q c的性质，本文多次引用，它的证明不难用二项式

展开去做。

利用此性质还可证明有理系数多项式的无理很成对且以共轭形式出现， 这留给读者考虑。