赋值解题

所谓赋值解题，是指在要证或求解的式子赋上某些特殊的值，以使解题过程简化。

我们先来看一个在计算组合数时常遇到的例子。

n

例1（1）求∑C^k 的值；

k =0

n

（2）计算∑(−1) ^k C^k 的值。

k =0

n

解 （1）由二项公式（1＋x） ⁿ = ∑C^k x^k

k= 0

n

用x＝1代入上式，可有∑C^k = (1 + 1) ⁿ = 2 ⁿ 。

k =0

（2）同样用 x＝-1 代入上式可有：

n

∑(−1) ^k C^k = (1 − 1) ⁿ = 0

k=0

这里，是在等式（*）中，通过赋值计算一些式子的和。直接计算它们是困难的。下面的例子也许更为精彩，它可以说是赋值解题的典型。

例 2 求 f（x）＝（8x6-6x5＋5x4－4x3＋3x2-2x-3）1982 的展开式中所有项系数和。

乍一看，这题几乎无法算，但仔细一想你又不难得到（仿照例 1 的方法） 下面的解法：

m

解 若设 f（x）的展开式为 f（x）＝∑ak C^k x ^k ，

k= 0

（m＝1982×6）

显然当 x＝1 时，式右为 f（1）展开式中诸项系统和，即 f（x）＝

n

∑a1， k=0

而 f（1）＝（8-6＋5-4＋3-2-3）1982 11982=1。

故 f（x）展开式诸系数和为 1。

赋值解题若和其他方法联用，有时效果更佳。请看：

例 3 求 f（x）＝cos2x＋cos2（x+60°）+cos2（x＋120°）的值。

解 先求 f（x）的导数得： f′（x）＝（过程略）

故 f（x）是常数，再令 x＝0。代入 f（x）有： f（0）＝1＋1/4＋1/4＝3/2，f（x）＝3/2 。 故 f（x）= 3/2

例 4 试求在自然数集上的函数 f（x），使 f（m＋n）＝f（m）＋f（n）

＋mn，且 f（1）＝1。

解 令 n=1，则有正 f（m＋1）=f（m）＋1＋m，再依次令 m＝1，2，⋯， n-1，则有：

f（2）＝f（1）＋2，f（3）＝f（2）＋3，⋯， f（n）＝f（n－1）＋n，

将上列诸式两边相加有（注意左、右两边相消）： f（n） ＝f（1）＋2＋⋯＋n

＝1＋2＋⋯＋n＝n（n+1）/2。类似地我们不难解下列问题：

n

1. 求∑7 ^k C^k 。［提示：考虑（7＋1） ⁿ ］

k= 0



1  16

1. 分别求



2x −

y 展开式中有理系数与无理系数之和。



［答：有理系数和为 1/28，无理系数和为 0］