贝特兰的概率悖论

在日常生活中有许多事情，如果你细细思量一番，就会觉得其间有些自相矛盾。

比如，一个村子里只有一位理发师，这位理发师只给本村不替自己理发的人理发。这是长年延袭下来的，不可违背的村规。现在问：这位理发师的头由谁来理？

无论怎样的答案，都将出现矛盾。倘若理发师的头发是“由别人理”的， 那么按村规他的头必须由理发师来理，但村里的理发师只有一个，这就变成理发师自己理自己的头，这与原先假定的理发师头“由别人理”自相矛盾。又若理发师的头由“自己来理”，那么按村规：由自己理发的人，理发师是不该给他理的。然而“他”的头，恰恰就是理发师理的，又矛盾。

上例在数学上称为“悖论”，意思是自相矛盾的奇谈怪论。一门学科出现悖论，表明该学科的基础还不够严谨。十九世纪末，集合论已成为近代数学的基本工具之一，但究竟什么是集合，连它的创始人，德国著名数学家康托（Cantor，1845～1918）教授，也没有能完全讲清楚。1902 年，英国数学家罗素（Bretrand Russell 1872～1970）提出了一个类似于前面例子的集合悖论，使人对严谨的集合论产生怀疑，从而给整个数学界以极大的震动。此后多年，许多著名的学者绞尽脑汁，试图医治这个怪症，终于使集合论的基础研究取得了重大的突破。

集合论是如此，概率论也是如此，到十九世纪末，概率论虽说已经头角峥嵘，但由于缺乏严格的理论基础，常常被人找到一些可钻的空子。其中最为典型的要算 1889 年法国数学家贝特兰（1822～1900）提出的概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内接等边三角形边长 a 的概率是多少？

[答1]：P = 1

2

因为设 PQ 为直径。以 P、Q 为顶点作圆内接等边三角形，分别交 PQ 于 M、N 点。在 PQ 上任取一点 H，过 H 作弦 AB⊥PQ，由 H 必为 AB 中点。显然，要使 AB 长大于 a，必须使 H 落于 MN 之中，易知 MN 的长为 PQ 的一半。

[答2]：P = 1

3

因为设 AB 为任意弦，由 AB 中点 H 必在以 AO 为直径的小圆周上。过 A 作圆内接等边三角形交小圆于 M、N 点，显然，要使 AB 长大于 a，必须使 H 落于 MN 上。易知 MN 的长为小圆圆周的三分之一。

[答3]：P＝ 1

4

因为设 AB 为任意弦，H 为中点。显然，要使 AB 长大于 a，必须使 OH 小

a

于 2 。即在半径为大圆一半的小圆内。易知这样小圆的面积只有大圆面积的

四分之一。

以上三种解答似乎都有道理，那么究竟谁是谁非呢？仔细推敲琢磨，就会发现：三种解答的前提各不相同。第一种解答是假定弦中点 H 在直径 PQ 上均匀分布的；第二种解答是假定弦中点 H 在小圆周上均匀分布的；而第三种解答是假定弦中点 H 在圆内均匀分布的。由于前提条件各个不同，所以得出的答案自然各异。实际上，如果我们高兴的话，还可以设置新的前提，使贝特兰问题的概率等于任何预先给定的数。

P1 ≤ P ≤ 1

 

 

为了堵塞诸如“贝特兰悖论”那样的漏洞，科学家们发动了一场对概率基础理论的“攻关”战。这一坚固的科学堡垒，终于在 1933 年为苏联数学家柯尔莫哥夫等人所攻克！