有趣的求π的方法

大约在公元 1904 年，R·查理斯（Chartres）做了下面的实验：他让 50

名学生，每人随机写出 5 对正整数，在所得到的 250 对正整数中，他检查了互

素的数目有154对，得到概率 154 。而理论上计算两个随机正整数互素的概率

250

6

为 π 2 ，代入计算得：

π ≈ ≈ 3.12

这实在太出人意料！随机写下的正整数，竟会与圆周率π发生联系。这50 位学生被震惊了！为什么π竟会在这样的场合出现呢？当你看下面的类似例子之后，将会明白。

这个有趣的例子是：

“随机写出两个小于 1 的正数 X 和 Y，它们与数 1 在一起，正好构成一

个 锐角三角形，三边的概率为1 - π ”。

4

问题的结构和前面 R·查理斯的实验极其类似。然而，它的证明却无需动用很多的知识和花费很大的气力。

事实上，由于 x 和 y 都是在 0 与 1 之间随机选取的，所以点（x，y）均匀地分布在单位正方形Ⅰ的内部。如果符合条件的点，落在一个阴影区域 G 上。那么，根据机会均等的原则，所求的概率应为

P = G的面积

I的面积

现在假令以 x，y，1 为三边的三角形是△ABC，其中∠C 对应于最大的边Ⅰ。为使 x、y、1 能构成任何种类的三角形，注意到 x，y 为小于 1 的正数的限制，知：x＋y＞1

又∠C 为锐角，应用余弦定理可得： 12＝x2＋y2-2xycosC＜x2+y2

满足上面两式，且在单位正方形Ⅰ内的区域 G。G 的曲边周界，是以原点为中心，Ⅰ为半径的四分一圆周。由于 G 的面积

S = S

1

1 S⊙ = 1 −



G 1 4 4

这就证明了所述问题的概率

S

1 − π

P = ^G = 4 = 1 − π

SI 1 4

看！π确实出乎意料地出现在随机写数的场合中，这是多么神奇！多么超乎想象！

有了上面的结果，读者便可以仿效 R·查里斯去设计你的实验了。设想， 你请来许多同学和朋友（人越多越好），或在某次集会之后，宣布由你主持表演“科学魔术”。办法是让大家各自随意写下两个小于 1 的正数。顺便请

他们各自检查一下，所写的两数与 1 是否构成一个锐角三角形。作为主角的你，只需将每人报告的“能”或“不能”构成锐角三角形的结论记录下来就行了，倘若有 n 个人说 “能”，而有 m 个人说 “不能”，那

么根据公式

n

n + m

≈ 1− π 算得

4

π ≈ 4×(1−

n

n + m) =

4m n + m

你可以当众宣布这一个惊人的结果！表演的出色和成功是可以预料的。