一个判别方法

上面的游戏也许使你觉得满有意思，然而你若明白了它的道理后，又觉得乏味了。可是你也许不曾想到，它可以给我们一个关于自然数能否被 7、11、13 整除的判别法呢！

一个多位数abc w - xyz能被7（或11或13）整除 ⇔ （abc w - xyz）能

被 7（或 11 或 13）整除。

它的证明并不麻烦，我们仅以 7 为例说明（11、13 的情况证明类同）。

先证必要性，由7|abc wxyz，又由前面游戏知，7| xyzxyz，|

则7| （abc wxyz - xyzxyz），

而abc wxyz - xyzxyz＝（abc w - xyz）×1000，

＋1000（符号＋表示不能整除），从而

71（abc w - xyz）。

充分性的证明道理与上类同，略。

用语言来叙述这个方法即：判断一个多位数能否被 7、11 或 13 整除，只须检验这个数的末尾三位与三位前面的数字组成的数之差能否被 7、11 或 13 整除即可。

应该指出：上述方法中无论前几位减去后面三位，还是后面三位减去前面几位均可（这要视具体数而定），因为它们至多相差一个符号。又，对于

位数较多的数来讲，上面步聚可重复进行，直到它的位数不多于三位为止—

—对于三位或三位以下的数来讲，判别它的整除性并不困难。几个例子

例 1 判断 325248 可否被 7、11、13 整除。

解 因 325-248＝77，而 7|77，又 11|77，故 325248 可被 7 和 11 整除。又 13＋77，故 325248 不能整除 13。

例 2 判断 99485321 可否被 7、11、13 整除。

解 因 99485-321＝99164，又 164-99＝65，（或 99-164＝-65），

而 13|65，故 99485321 可被 13 整除。

但 7＋65，且 11＋65，知 99485321 不能被 7 或 11 整除。例子不多举了，倘若读者有兴趣，不妨找几个数算算看。