局部调整求极值

利用算术一几何平均值不等式求定和极值问题，这首先应当在证明了该不等式之后才行，要是不知道这个不等式怎么办？下面我们再介绍一种办法

——局部调整法。

若知正实数 x1＜X2 ＜X3 ＜⋯＜xn ，且 x1＋X2 ＋⋯+xn=a（常数）。今

考虑取 x ′ = x ′ = 1 （x + x

），x ′ = ， x ，那么x′ x′ x′ x

1 2 2

1 2 3 n 1 4 3

′ ＞x x x - x

，这只须注意到[ 1 （x + x

）]2 - x x ＝[1 / 2（x －x

）]2 ≥

n 1 2 3 n

2 1 2

1 2 1 2

0 即可，这样局部调整 xk，使和不变、积不减。

有了上面的知识我们以三个未知数为例，谈谈这种方法。我们知道正△ ABC 内任一点 P 到三边距离 x、y、z 之和等于该三角形的高 h（图 3－4）， 试问积 xyz 最大值是什么？若令：

1 1

x1 = x，y1 = z1 = 2 (y + z)，y2 = y1z2 = x2 = 2 (z1 + x1 )，

z = z ，x = y = 1 (x

  • y )，如此下去Λ

3 2 3 3

2 2 2

显然 x＋y＋z＝x1＋y1＋z1＝x2＋y2＋z2＝⋯ 且 xyz＜x1y1z1＜x2y2z2＜⋯

只须证明limxn ＝ limy n ＝ limzn ＝h / 3（这请读者去完成）， 便有：

n→∞

■

n→∞

n→∞

xyz≤ lim x y zn = （h / 3）3 ，即xyz的极大值是（h / 3）3 ，若x＋y＋z

n→∞ n n

＝h 时。

我们还可以对它给出一个几何解释：若 P 到三边距离 X、y、Z 视为 P 的坐标，那么（x1，y1，z1）（X2，y2，z2）、⋯代表的点 P1、P2⋯正如图 3－5 所示（这些线段分别平行于某一边），显然它们越来越接近于 O 点，而 O 正是 x＝y＝z 的点。

我们还可以再给出一个局部调整办法，这比上面的办法要快。若 x＜y

＜z，令 h/3＝a，若 y＜a＜z，可设 x1=x， y1＝ a，z1=y＋（z-a），故有y1z1-y2=a（y＋z-a）-yz＝（a-y）（z-a）＞0，

∴xyz＜x1y1z1。

再 令 y = y ，z = x = 1 （x + z ）

2 1 2 2 2 1 1

则 x2＝y2=z2，这时又有：

xyz＜x1y1z1 ＜x2y2z2 ＝a3 ，它与上面的结果相同（注意这时已无法再调）。

顺便讲一句，这个方法正如为我们提供一个证明（用数学归纳法）算术

—几何平均值不等式的方法。