平均数还原

数学中你会遇到各种平均，比如算术平均、几何平均、调和平均、⋯等等，然而人们最常用的平均还是算术平均。

求 n 个实数 a1、a2、⋯、an 的算术平均值 a 并不困难，只须按下面公式计算即可：

a＝（a1＋a2＋ ＋an）÷n。

但问题要是反过来，即知道某些数的算术平均值而去求

原数，情况就复杂多了，有时甚至无法确定原数。不过某些简单的情形还是有办法解决的。比如：

下面图1中正方形各顶点处的数a、b、c、d分别是图2中相应顶点外的其

它三顶点处的数的算术平均值，说得具体些即

a＝（b＋c＋d） / 3， c＝（a＋b＋d） / 3，

b＝（a＋c＋d） / 3， d＝（a＋b＋c） / 3；

今若知

a＝11， b＝10， c = 9， d = 6，试求原数

a、b、c、d。

乍一看问题有些棘手，但你只要稍稍分析、细心推演便会发现：由a、b、

c、d反求a、b、c、d的公式为a＝（ b＋c＋d） - 2a， b＝（a＋b＋d） - 2b， c＝（a＋b＋d） - 2c，

d＝（a＋b＋c） - 2d，

这样，我们便可很快地求出 a=3，b＝6，c＝9，d＝18。

这个问题我们还可以稍加推广：

图4中正方体各顶点处的数a、b

、h分别为图5立方体相应顶点所邻

最 近的其它三顶点处的数的算术平均值，比如a＝（b＋c＋d） / 3，b＝（a

＋c+f）/3，⋯等等：

今若知a＝7、b＝5、c＝9、d＝5、e＝3、f＝8、g＝5、h＝9 ，求原数 a、

b、c、⋯、h。

有了前面的启示，我们仍是先来推导一下还原公式，稍稍计算不难发现：

a＝（b＋e＋d） - 2g， b＝（a＋c＋f） - 2h，

一般地即：原数等于与该顶点邻近的三个平均数之和，再减去其所对顶点处的平均数的 2 倍。

这样可求得：a＝3，b＝6，c＝9，d＝9，e＝6，f＝3，g＝12，h＝3。

具体地可见图 6 和图 7。

这儿想着重指出一点：由平均数求原数的还原，须有足够的“信息”， 并非所有情况都行。不过从上面例子也可以看出，某些计算问题先导出公式， 再去代入求值往往是方便和必要的。