从齐王赛马谈起

我国劳动人民对于对策的认识有着很久远的历史。如《橘中秘》、《梅花谱》、《韬略元机》等象棋古谱，实际上是对象棋比赛对策的相当深入的研究。战国时期“齐王赛马”的故事，也是一个十分精彩的对策例子。

齐王与大将田忌商议赛马，双方约定：各自出上、中、下三种等级的马各一匹。每轮举行三场对抗赛。输者每输一场要付给胜者黄金一千两。由于田忌的马比齐王同等级的马都要略逊一筹，而在头一轮的比赛中，双方都是用同等级的马进行对抗，所以齐王很快赢了全部三场，得到了三千两黄金。鉴于第一次赛马的惨败，所以当齐王满面春风地再次邀请田忌赛马时，

田忌感到很为难。一方面君王的旨意不好违背，另一方面自己对这种必败的比赛失去了信心。田忌的军师孙膑是颇有才能的军事家，他得知后，便替田忌出了一个主意：用自己的下等马和国王的上等马比赛，而用自己的上等马和国王的中等马比赛，中等马和国王的下等马比赛。比赛开始，第一场国王的马以极大的优势取得了胜利。国王没有料到田忌的马竟然如此不堪一击， 为此俯仰大笑，得意不已。但美景不长，在二、三场中田忌的马都取得了胜利。这一轮国王不但没赢，反而输了一千金。可笑的是，齐王输了钱还弄不清自己是怎样输的呢！

其实，齐王出马的对策有六种；（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、上、中）、（下、中、上）。括号中写的是出马的等级和顺序。田忌的对策也同样有六种。这样搭配起来就有 36

种对赛的格局。其中齐王赢三千金的格局有 6 种，赢一千金的格局有 24 种，

只有 6 种才反输一千金。因此，从总的来看，田忌输的概率为六分之五。赢的概率只有六分之一。

既然田忌赢的可能性是这样小，那么孙膑是根据什么来取胜的呢？原来关键在于孙膑摸准了齐王的对策。他估计到齐王由于上一次的大获全胜，这一次是不会轻易更改这种对策的。这就使得孙膑在对局前便把握了主动权， 有的放矢地制定了“退一步，进两步”的策略。

齐王失败的关键在于自己的策略被对方洞悉。然而，在一般的竞争中， 相对的双方都是在不知道对方策略的情况下各自选择自己的最优对策的。下面是第二次世界大战期间一个著名的对策战例。

1943 年 2 月，美军获悉：日本舰队集结南太平洋的新不列颠岛，准备越过俾斯麦海开往伊里安岛。美西南太平洋空军司令肯尼，奉命拦截轰炸日本舰队，从新不列颠岛去伊里安岛的航线有南北两条，航程约为三天。未来三天北路气候阴雨连绵，南路晴好。美军在拦截前务必要派侦察机侦察，待发现日舰航线后，再出动大批轰炸机进行轰炸。

对美军来说，全部可能的方案如下：

（N，N）方案：集中侦察北路，派少量侦察机侦察南路，日舰也走北路。虽然天气不好，但可望一天内发现日舰，有两天时间轰炸；

（N，S）方案；集中侦察北路，派少量侦察机侦察南路，日舰走南路。因南路天气晴好，少量侦察飞机用一天也能发现日舰，轰炸时间也只有两天；

（S，N）方案：集中侦察南路，派少量侦察机侦察北路，日舰走北路。少量的飞机在阴雨的北路侦察，发现目标需要两天，轰炸时间只有一天；

（S，S）方案：集中侦察南路，派少量侦察机侦察北路，日也舰走南路。

能立即发现日舰，这样有三天的轰炸时间。

以上各方案，美军赢得的轰炸时间简化如下表：

对美军来说，最理想的方案是（S，S），因为它可以赢得三天轰炸时间。但因日方对策预先并不知道，如果贸然集中力量侦察南路，可能会落得最差的（S，N）结果。同样，日方在考虑对策的时候，既要看到自己最佳的方案

（S，N），也不能不估计到对自己最不利的方案（S，S）。因此，对日舰来说，走南路是比较冒险的。美军司令肯尼将军认真研究，毅然决定把重点放在北路。结果这场载入史册的俾斯麦海海战，最后以美军获胜告终。

为叙述方便，我们把美方赢得轰炸的时间表，省略去策略部分，只留下矩形的数字阵，简称赢得矩阵。

 2 2

1 3 

 

像上面那样，给出赢得矩阵的对策，叫做矩阵对策。“齐王赛马”是一种矩阵对策。大家所熟悉的“锤子，剪刀，布”的游戏，也是一种矩阵对策。如果约定：胜者得 1 分，负者得-1 分，平手得 0 分，而且双方的策略都按锤子，剪刀，布的顺序。那么简化后某一方的赢得矩阵为：

0 1



− 1



− 1 0 1 

1 − 1 0 