引发矛盾，启迪探索

在利用基本不等式求最大值或最小值时，都必须考虑等号能否取得，这不仅是解题的规范要求，而且往往对问题的解决提供有益的启示．特别当解题的过程似乎顺理成章，但等号成立的条件却发生矛盾或并不一定成立．这一新的问题情景将启迪我们对问题的进一步探索．

例7 设a，b∈R^＋ ，2a＋b＝1，则2 ab－4a² －b²有 ．

( )

A 1 1

．最大值 4 ．

C．最大值 2 − 1

2

B．最小值 4

D．最小值 2 − 1

2

分析：由4a ²＋b ²≥4ab，得原式≤2 ab－4ab＝ − 4( ab) ²

+ 2 = −4(

• 1) ² + 1 ≤ 1 ．若不对不等变换中等号成立的

4 4 4

条件进行研究，似已完成解题任务，而且觉得解题过程颇为自然，但若研究一下等号成立的条件，则出现了矛盾：要使

4a ²＋b² ≥4ab中的等号成立，则应有2a＝b

1

＝ 2 ，这时

2 1

= 4 ≠ 4 ，

第二个“≤”中的等号不能成立．这一矛盾使我们感觉到解题过程的

错误，促使我们另辟解题途径．事实上，原式＝2 − (2a + b)² + 4ab

= 4ab + 2

− 1，而由1＝2a＋b ≥ 2 ab得，0 < ≤

2 ，ab ≤ 1

∴原式≤

2 1

2 + 2 − 1 =

2 − 1

2

4 8

，故选C．

等号不一定成立而启迪我们对问题进一步探索的典型例子是 1997 年全国高考(理科)

例 8 甲、乙两地相距 S 千米(km)，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/小时(km/h)．已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为 b，固定部分为 a 元．

Ⅰ．把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；

Ⅱ．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

分析： y＝ aS + bSv，v∈(0，c]，由y≥2S ab当且仅当 aS ，即当)v

v

＝ a 时等号成立得，当v＝

b

v

a 时y有最小值．这是本题的正确答案吗？

b

那就得考虑v＝

a

b 是否一定成立．当

a a

b ≤c时可以，但 b 是

有可能大于 c 的．这就引发了我们进行分类讨论的动机，同时也获得分类的标准．

综上所述，“等”是不等式问题中一道特殊的风景，从“等”中寻找问题解决的思路，本质上是特殊化思想在解题中的应用．从教学上看，引导学生注视不等式问题中的“等”，是教会学生发现问题、提出问题，从而分析问题、解决问题的契机．