转移法求轨迹方程的新定义江苏省宜兴市宜兴中学 史美初

波利亚指出：“如果你不能解决所提的问题，可尝试先去解决某个与此有关的辅助问题，一个更易着手的特殊问题，这正像小河当中正好有块合适的石头可作为临时的踏脚石，我们用两步过河一样．”

转移法求轨迹方程的根本策略就是寻找踏脚石，两步实现目的．

平时我们所熟悉的，在其他书上所定义的转移法是指：当生成轨迹的动点 P 随着另一动点 Q 的变动而有规律地变动，且 Q 又落在一给定的曲线 C 上时，根据条件去寻找表示 P、Q 两点间规律的表达式，然后将 Q 点的两个坐标分别用 P 点的坐标来表示，再把 Q 点的坐标代入曲线 C 的方程．这一方法的本质问题是代入！

如果我们把 Q 点称主动点，P 点称为从动点，那么上面这一定义可以理解成：求从动点的轨迹方程，只须用从动点的坐标来表示主动点的坐标，再把主动点代入已知曲线方程．我们把这种求从动点轨迹方程的方法定义为代入法．

本文定义的转移法是说：当生成轨迹的动点 P 的方程不易求得时，就改换目标，先去寻求与 P 有着密切关系的动点 Q 的曲线的方程(踏脚石！)，再转化为用代入法求 P 点的轨迹．

这一定义的中心问题是转移目标，寻求辅助曲线(或说中间曲线)．

代入法与转移法的本质区别是曲线 C 的已知与未知(待求)．因此，怎样去探求、寻找这辅助曲线(踏脚石！)便成了问题的焦点和中心了．

下面略举几例，希望能帮助读者从中寻到规律．

例 1 过原点的椭圆的一个焦点为 F(1，0)，长轴长为 4，求椭圆的中心P 的轨迹方程．

解：设椭圆另一焦点的坐标为Q(x0 ，y0 )，由椭圆定义

∴Q点的轨迹方程为x ²＋y ² ＝9．

= 4，

设椭圆中心的坐标为(a，b)，由中点坐标公式有x0 ＝2a－1，y0 ＝2b，

代入上面Q点的轨迹方程，并以x代a，y代b，得(x − 1) ² + y² = 9 ．

2 4

这就是椭圆中心的轨迹方程

例 2 设抛物线的准线为 y 轴，且过点 M(a，b)，求证当 M 在坐标平面上移动时，抛物线的顶点轨迹的离心率是一常数．

**分析：**当 M 变动时，抛物线的顶点轨迹是什么？给出了准线和抛物线上的点，焦点的轨迹便是举手之劳了．

解：设抛物线的焦点为F(x0 ，y0 ) ，由抛物线的定义，有(x0 －a) ²

＋(y0 －b) ² ＝a² ．

若顶点的坐标为(x，y)，则 y0＝y，x0＝2x，于是得抛物线顶点的轨迹方程

(x − a) ²

2 +

a 2

4

(y − b) ²

a 2

= 1, 离记率e = 3

2

例 3 如图所示，AB是抛物线y²＝2px上的动弦，p为点O在

AB上的射影．如果AB满足|OP|² ＝|PA| ·| PB| ，求以OP为一边以

∠OPA 为内角的正方形 OPQR 的顶点 R 的轨迹方程．

**分析：**直接求 R 的轨迹方程有困难．但是我们不难发现 R 随 P 的变化而变化，P 的运动的轨迹方程若能找到，R 的轨迹方程也就解决了．

用转移法！先求 P 的轨迹方程．

解：∵OP⊥AB，在 Rt△AOP 及 Rt△POB 中，

OA²＝OP²＋AP² ，OB² ＝OP ²＋PB²

两式相加：OA ² ＋OB² ＝2OP²＋AP ²＋PB²

＝AP²＋PB² ＋2AP·PB＝AB²，

∴ △AOB 为直角三角形．

求 P 点的轨迹方程，方法颇多，有交轨法、参数法、极坐标法⋯⋯，请

读者推导：P点的轨迹方程为(x－p)² ＋y² ＝p²．

再求 R 的轨迹方程，由 OPQR 是正方形，最自然地联想到复平面上向量的旋转或极坐标．

我们选用极坐标系来解：

取O为极点，Ox为极轴，则P点的极坐标方程为ρ＝2pcosθ，设R点

π π

的极坐标为( ρ1，θ1 )，OP与OR的夹角为 2 ，∴θ 1＝θ + 2 ，ρ = ρ1，

∴ R 点的极坐标方程为ρ＝－2psinθ．

**注：**选用极坐标系来求 R 的轨迹方程，确实简单，建议读者用复平面上向量的旋

转去试一试．