例析函数值域的求法，奠定求反函数定义域的基础

反函数的定义域一般都不是根据反函数的解析式来求，而是通过求原函数的值域得到．因此，会求函数的值域是掌握反函数知识的必备基础．教学中，可安排一次求函数值域的几种常用方式，为求反函数的定义域打下基础．

1. 用图象求值域．一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数的图象学生在学习反函数时就比较熟悉了，通过这几类函数的图象相对于 y 轴的位置的观察，得出函数 y 的取值范围，是一种直观的求函数值域的方法．

2. 利用函数的单调性求值域．单调函数的值域，可利用基本的单调函数，采用复合的方法，运用不等式的性质求得．

例2 求函数f(x) =

2

1 − x²

(x＜－1)的值域．

解析：由于幂函数y＝x²在(－∞，－1)上是减函数，于是，当x＜ -1时， x²＞(-1)2 = 1，即1- x²＜0．

又由于反比例函数h(t ) = 2 在(-∞，0) 上是减函数，当1- x²＜0时，

t

− ∝<

2

1 − x²

< 0．

所以，f (x) =

2

1 − x²

(x＜ - 1)的值域是(-∞，0)．

1. 根据解析式求值域．当函数的定义域只受解析式制约时，值域也只受函数解析式的限制．先由解析式 y＝f(x)解出 x＝ψ(y)，再根据ψ(y)的结构，求得式子ψ(y)中 y 的取值范围，从而得出函数 y＝f(x)的值域，是求这类函数值域的常用方法．

6x + 5

例3 求函数f(x) =

x − 1

的值．

6x + 5 y + 5

解析：由y =

x − 1 ，得x = y − 6 ．

y + 5

6x + 5

因为，当y－6≠0时，式子 y − 6 有意义，所以，函数f (x) =

值域为｛y｜y≠6，y∈R｝．

x − 1 的

1. 运用判别式求值域．对于分子或分母是二次多项式的函数，一般都是运用判别式，通过解一个一元二次不等式，求得这类函数的值域．

x ² + x

例4 求函数y = x2 + x + 1 的值域．

解析：∵x² ＋x＋1≠0，将解析式变形，得

(y－1)x ²＋(y－1)x＋y＝0． ①

x² + x

当y≠1时，由于函数y = x 2 + x + 1 的定义域不是空集，因此，

关于 x 的方程①有解．

∴△＝(y－1) ² －4y(y－1)≥0成立．

解这个不等式，得

1

− 3 ≤

y ≤ 1．

x² + x

当y＝1时，方程1 = x2 + x + 1 无解．

x ² + x 1

∴函数y = x2 + x + 1 的定义域为[- 3 ，1]．