二、几何直觉──切线角

本例与“最大视角”还有一个不同是，OA＝3，OB＝2，AB＝1 均为定值．这就使得点 M 在以 AB 为直径的半圆上，一个明显的几何直觉是：当 OM 与半圆相切时，∠MOA 最大(图 4)．

此时，连结半径 CM，在 Rt△COM 中，有

CM 1 5

＝ 2 ，OC＝ 2 ，从而OM＝ 6．

得∠MOA 的最大值为

(θ－argz)

max

＝arctg 1

2 6

，或(θ－argz)

max

＝arcsin1 ，或

5

2 6

(θ－argz) max ＝arccos 5 ．

π

此时，由弦切角定理得∠MAO＝∠BMO，但∠MAO＝ 2 －

π

∠xOA，∠BMO＝∠xOM，有 2 －θ＝argz． ②

1

故得 2 θ＝1 / 2[(θ＋argz)＋(θ－argz)]

＝1 / 2( π

2

1

＋argtg 2 6 )．

为了给数学直觉一个逻辑铺垫，我们也可以找出一个几何说明．如图 5，

M、M1点对应的复数为

z＝3cosθ＋i·2sinθ，

z1 ＝3cosθ1 ＋i·2sinθ 1，

π

θ，θ1∈(0， 2 )．其中OM为半圆AB＝1上的切线，OM 1为半圆A 1B1

＝1上的割线，作旋转，使OA1与OA重合，则半圆A1 B1 与半圆AB也重合， M1点成为半圆AB上的点M1′，则割线OM1′在∠MOA内部，有

∠MOA＞∠M1 ′OA＝∠M1OA1 ．

这说明了，当 OM 与半圆 AB 相切时，∠MOA 最大，我们的直觉没有搞错．