否定特例，排除错解

解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点是它的相应等式(方程) 的解或者是它的定义区间的端点(这里我们把＋∞、－∞也看作端点)．因此我们可以通过端点的验证，否定特例，排除错解，获得解决问题的启示．

π 1

例1 满足sin(x－ 4 )≥ 2 的x的集合是．

( )

A．x|2kπ + 5π ≤ x ≤ 2kπ + 13π , k ∈Z

 12



12 

B．x|2kπ − π ≤ x ≤ 2kπ + 7π , k ∈Z

 12



12 

C．x|2k π x ≤ 2kπ + 5π , k ∈Z

 π + ≤ 

 6 

D．{x|2kπ≤ x ≤ 2kπ + π , k ∈Z



6 

π π π

分析：当x＝ − 12 、x = 6 、x = 0时， sin( x − 4 ) < 0, 因此排除

B、C、D，故选A．

例 2 不等式

|x| ≥ 0的解集是．

( )

A．{x|−2 ≤ x ≤ 2}

B．{x|− ≤ x < 0或0 < x ≤ 2}

C．{x|−2 ≤ x < 0或0 < x ≤ 2}

D．{x|− ≤ x < 0或0 < x ≤ 3}

分析：由 x＝－2 不是原不等式的解排除 A、C，由 x＝2 是原不等式的一个解排除 D，故选 B．

这两道题若按部就班地解来，例 1 是易错题，例 2 有一定的运算量．上面的解法省时省力，但似有“投机取巧”之嫌．选择题给出了三误一正的答案，这是问题情景的一部分．而且是重要的一部分．我们利用“等”与“不等”之间的内在联系，把目光投向解区间的端点，化繁为简，体现了具体问题具体解决的朴素思想，这种“投机取巧”正是抓住了问题的特征，体现了数学思维的敏捷性和数学地解决问题的机智．在解不等式的解答题中，我们可以用这种方法来探索结果、验证结果或缩小探索的范围．

例3 解不等式 log (1 − 1) > 1．(1996年全国高考试题)

a x

分析：原不等式相应的等式──方程loga

(1 − 1) = 1的解为x =

1− a

(a≠1

是隐含条件)．原不等式的定义域为(1，＋∞)∪(－∞，0)．当 x→＋∞

或x→－∞时，loga (1－ x) →0，故解区间的端点只可能是0、1或

1 1 1

1− a ．当0＜a＜1时， 1 − a ，可猜测解区间是(1， 1 − a)；当a＞1时，

＜0，可猜测解区间是(

考虑．

1 − a

，0) ．当然，猜测的时候要结合定义域

上面的分析，可以作为解题的探索，也可以作为解题后的回顾与检验．如果把原题重做一遍视为检验，那么一则费时，对考试来说无实用价值，对解题实践来说也失去检验所特有的意义；二则重做一遍往往可能重蹈错误思路、错误运算程序的复辙，费时而于事无补．因此，抓住端点探索或检验不等式的解，是一条实用、有效的解决问题的思路．