从几何直觉到代数证明陕西师范大学 罗增儒

笔者是相信数学直觉的，并且还对数学直觉进行过有意识的积累与探索(见文［1］)．本文所提供的新案例，经历了从几何直觉到几何论证、并最终得出新代数证明的过程．

问题 设复数 z＝3cosθ＋i·2sinθ．求函数 y＝θ－argz

(0＜θ＜ π )的最大值以及对应的θ值．(1999年高考理科第(20)题) 2

这个问题有一个明显的几何意义(见文[2])，即复数 z 所对应的点是椭圆

x = 3cos θ

x2 y2

y = 2 sin θ ⇔ 3²

+ 22 = 1

的第一象限部分(图 1)．

问题转化为求椭圆离心角θ与旋转角 argz 之差的最大值，也就是图 1 中∠MOA 的最大值．

这个图形的线条稍嫌多了点，我们把表示角θ、argz 的线段留下，其余都擦去，于是图 2 向我们展示了一个似曾相识的情景，并立即引发几何直觉．下面分别介绍两个方面的直觉．