关于自然数平方和的几个模型陕西省蒲城师范学校 曹红妍

自然数的平方和∑k ² =

k =1

1 ( n + 1)(2n + 1)有多种证明方法，除了用数学

6

归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明

模型1 分析求和数，k ² (k＝1，2， ，n表示k个k之和1² ＋2²

＋ ＋n²形式整齐．作一等边三角形，将各边分成n－1等份过分点

作另两边的平行线, 可以得到1 + 2+Λ +n = 1 n(n + 1) 个分点ο

2

将求和数摆到三角形各交点上，k ²摆在第k行的k个位置上，表

示 k 个 k 之和(图 1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图 1(2)、 1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n＋1)．于是

n

3∑k ² =

k =1

n

1 n(n + 1) • (2n + 1)

2

1

即 ∑k ² =

k= 1

6 n(n + 1) • (2n + 1)

模型1应用了k² 的定义(k个k之和)与等差数列的性质，其中又渗

透了运动的思想，动静结合，相得益彰．

模型2 k ² (k = 1,2, ，n)可表示为k ²个单位正方形的面积。这k ²

个单位正方形排成k² ×1的矩形．联想到求面积计算，就可利用图形

割补、数形结合来证明．

分别构造k ² = (1,2, ，n) 个单位正方形( 图2) ，从上到下各层依

次放k ²个，即求所有正方形面积之和．现利用单位正方形将此图形补成一个n² ×n的矩形．先给前n－1层各补(2n－1)个单位正方形，共补(n－1)(2n－1)个单位正方形；再给前 n－2 层各补(2n－3)个单位正方形，共

补(n－2)(2n－3)个；⋯⋯， 最后给第一层补 3 个，这样添补的单位正

方形个数为1×3＋2×5＋ ＋(n－2)(2n－3)＋(n－1)(2n－1)．原有单

位正方形∑k ²个．所以

k =1

n²×n = ∑k ² + 1×3 + 2×5+Λ +(n − 2)(2n − 3) + ( n − 1)(2n − 1)

k =1

n

= ∑k ² + 2[1² + 2 ² +Λ +(n − 1) ² ] + [1+ 2+Λ +(n − 1)]

k =1

n

= 3∑k² +

k =1

1 n(n − 1) − 2n² ,

2

n

2 3 2

1 ( )

即：3∑k

k =1

= n + 2n

− 2 n n − 1

= 1 n(n + 1)(2n + 1), 2

n 1

∑k ² =

k =1

6 n( n + 1)(2n + 1).

模型 2 数形结合，以形助数，比较直观．而应用映射方法将求和问题映射成几何上的求堆垒总数问题，再利用几何体的割补求和，也体现了化归思想．

模型3 用单位立方体作堆垒，以上到下第k层放k ²个，然后逐次把每

层补足(n＋1) ² 个立方体，得到共n层的长方体，其体积为n(n＋1) ² ，

而添补的立方体个数为 1×3＋2×5＋⋯＋n(2n＋1)，原有立方体个数

为∑k ² 个．所以

k =1

n(n + 1) ² = ∑k ² + 1×3 + 2×5+Λ +n(2n + 1)

k=1

n n

= 3∑k ² + ∑k ² ,

k =1

n

2

k= 1

2

1 ( )

即：∑k

k =1

= 3[n( n + 1)

− 2 n n + 1 ]

= 1 n(n + 1) • (2n + 1).

6

以上三个均属构造的数学模型，另外还可以构造物理模型，从物理意义

上进行探讨．

点作等边△A1 BC、分别过A 2 (2，0) ，A 3 (3，0) ， ，An－1 (n－1)

,0作x轴的垂线，分别与A 1B、A1C相交。在过A1 ，A 2 ， ，An的

垂线段上分别等距离地放 1 个，2 个，⋯，n 个重量为 1 个单位的质点．则这些质点对原点的力矩

M＝1×1＋2×2＋ ＋n×n

＝1² ＋2² ＋ ＋n² ．

另一方面，所有质点的重心就是等边△A1 BC的重心，它到原点的距离为

2 1

3 (n − 1) + 1 = 3 (2n + 1)

总重量1 + 2+Λ +n = 1 n(n + 1).

2

1 1

所以M = 3 (2n + 1) • 2 n(n + 1)

= 1 n(n + 1)(2n + 1), 6

即∑k ² =

k =1

1 n(n + 1)(2n + 1).

6

数学知识结构之间的相互联系，为我们解决问题提供了丰富的源泉．数学问题的模型是多样的．通过对不同模型的探讨，将有助于开阔我们的视野， 有助于提高我们的分析问题和解决问题的能力．