三、从直觉到严格求解

上述两个直觉虽然视角稍有不同，但所洞察到的几何实质却是一样的，

π

式①、②表明，当θ＋argz＝ 2 时，θ－argz取最大值，这促使我

们去考虑θ－argz 与θ＋argz 的联系．

另外，第二个几何直觉，将问题转化到△COM 的简单求解，也引起了我们的强烈兴趣，我们注意到

OM＝OC＋CM， ③

5 1

OC＝ 2 (cosθ＋isinθ)，CM＝ 2 (cosθ－isinθ) ．

突然，将③两边除以OM的念头，使我们心花怒放，因为这会产生

θ＋argz 与θ－argz，一个全新的解法到来了．

π π

解：由θ∈(0， 2 )知， 3cosθ＞ 0，2sinθ＞ 0，有argz∈(0， 2 )，

｜z｜∈[2，3]．

又 z＝｜z｜[cos(argz)＋isin(argz)]

＝3cosθ＋i·2sinθ

＝ 5 (cosθ＋isinθ) ＋ 1 (cosθ－isinθ) ，

2 2

5(cosθ + i sinθ) + (cosθ − i sinθ)

有2｜z｜＝

cos(argz) + i sin(arg z)

＝5[cos( θ－argz)＋isin(θ－argz)]

＋[cos(θ＋argz)－isin( θ＋argz)]，

比较实部、虚部得5cos(θ－argz)＋cos(θ＋argz)＝2｜z｜， ④ 5sin(θ－argz)－sin(θ＋argz)＝0． ⑤

π

可见，当θ＋argz＝ 2 ⑥

时，sin(θ－argz)可以取到最大值，代入④、⑤

cos(θ－argz) 2 z｜＞0，

 ＝ 5 ｜

 1

sin(θ－argz)＝ ＞0．

 5

π

可见，θ－argz∈(0， 2 )，由反正弦函数的递增性，有

(θ－argz)max＝ 1 ⑦

arcsin 5 .

⑥＋⑦可求得θ＝ 1 ( π ＋ 1 ．

2 2 arcsin 5)

评析 这个纯代数的解法有明显的几何意义，首先是由复数加法的几何意义把 z 分解为两个复数之和(这有图 4 在作诱导)：

5

z1 ＝ 2 (cosθ＋isinθ)，

若复数z2

＝ 1 (cosθ－isinθ) ，

2

z＝z1 ＋z2 ．

所对应的点(大写字母)满足平行四边形法则(图 6)然后变形比较实部、虚部．所得出的④式本质是射影定理，所得出的⑤式本质是正弦定理．

得出⑤式之后，已经没有什么实质性的困难了，换句话说，本题可以用正弦定理来求解．

不管人们对这个解法的繁简有何评价，我们自己确实对题目的几何结构获得了深层认识，并且经历了一个从直觉到严格的小小过程，相信读者也能从中获得启示．