如何用高数知识及其观点指导中数研究湖北省武汉市第二中学 王池富

如何用高等数学及其观点指导中学数学研究和调控数学教学活动，这是值得广大一线数学教师积极参与研究的课题．指导与调控，并非狭义地指用高数知识解决初数习题，而应该包括：

1. 在备教材表述内容的同时，注意考察该数学知识在整个教学体系中的地位和作用：

2. 在设计暴露教学概念产生、形成、抽象概括的过程之前，注意了解该数学概念后续发展理论；

3. 在设计针对训练时，注意所训练的方法、技巧的方法论依据(含哲学背景、逻辑规律等)．

这样做的目的在于通过思考，不仅从方法上，而且从观念上充实自己， 彻底打破“只会这样做，不知为什么要这样做”的经验型格局．本文通过若干例子阐述笔者是如何借助高数观点分析中数教材的，供同仁评鉴！

例 1 “集合”与“无穷观”．

无限的观点并非存在在极限概念中才涉及．实质上，高一入门阶段“集合”部分就渗透了无限观．如对有限集 A 和 B 之间的关系，当然可以通过一一查验集合中的元素确定其包含关系，但对无限集 A 和 B，则不可能如此操作．因此另辟蹊径，变有限集的操作查验凸(有限步)为定性描述(无限思

由此衍生出解决问题的归纳——演绎式探索法．比如探求集合 A＝{x｜x＝2k

＋1，k∈Z}与 B＝{x｜x＝4n±1，n∈Z}之间的关系：第一步，特值观察；第二步，猜测归纳；第三步，数学论证(用集合相等的定义)．这也打破了非要等到高二学习数学归纳法之后才出现探索式问题的传统讲授格局．同时，也为高一学习立体几何“线面平行”、“面面平行”由定义(不便操作——不可能查验)到判定方法(方便操作——定性论证)，奠定了理论和方法基础．

例 2 “距离”与“测度观”．

距离问题师生非常熟悉，但细究发现教材只定义了点到直线的距离，而回避了点到射线、线段的距离．有的教师认为点到射线、线段的距离就是点到射线、线段所在直线的距离，这个观点正确与否？我们从距离的背景入手， 分析中学阶段各类距离的定义(两点的距离→点到直线的距离→点到平面的距离→线线、线面、面面间距离→球面上两点的距离)即可发现，其基本特征是最短；距离的知识背景是距离公理：(1)ρ(x，y)≥0；(2)ρ(x，y)＝ρ(y，

x) ； (3) ρ (x ， z) ＋ (z ， y) ≥ρ (x ， y)) ．在测度论中对两个集合

线、线段、半平面的距离与点到射线、线段所在直线及半平面所在平面的距离不是同一概念．

例 3 “函数”与“赋范空间”．

函数是初等数学中的一个重要概念，深刻理解和掌握函数概念实质，不仅对学习初等数学本身，而且对进一步学习高等数学都会产生深远的影响．中

学阶段对函数曾有两种定义：

其一，如果在某变化过程中有两个变量 x、y，并且对于 x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，那么 y 是 x 的函数，⋯⋯

其二，⋯⋯当集合 A、B 都是非空的数的集合，且 B 的每一个元素都有原象时，这样的映射 f∶A→B 就是定义域 A 到值域 B 上的函数(或 A、B 都是非空的数的集合，函数实质就是集 A 到集 B 的映射(必修教材))．如果从函数概念的发展线索来看，经历了以下几个阶段：

①研究具体的函数(如莱布尼兹)；

②研究变量与常量组成的函数(如贝努利)；

③研究函数的表示法(欧拉)；

④抓住对应实质研究函数(古典定义，如狄里赫莱)；

⑤借助集合用“关系”定义函数时期(如笛卡尔)；

⑥引进、提出δ函数时期；

⑦广义函数．

从这个角度分析，中学教材基本上采用了狄里赫莱的定义，其本质乃是对应思想．建立集合论以后，研究集合的结构固然重要，但建立和研究集合之间的映射更重要．现代数学的各个分支，实质就是研究具有不同数学结构的集合之间的各种映射关系(如同态、同构、可测函数等)．泛函分析中引入线性赋范空间概念后，可进一步研究左(右)逆映射、共轭映射等，这实质就是将实数域推广到了具有更一般数学结构的集合，将对应法则也推广到了更一般的情形．

概览函数概念发展的历程后，再回过头来看中学数学中有关函数的问

题，

函数？函数的定义域能否为空集？函数的图象是连续的曲线，还是视为有序数对的集合？由于观点理性化，所以必将摒弃模棱两可的认识．

例 4 “共轭”与“对偶”观．

初中阶段曾利用共轭根式将形如 的分式分母有理化，高中阶段

引入了共轭复数、椭圆的共轭直径、共轭双曲线的概念，还有大量成对出现

a

的表达式( 如a＋b与a－b，ab与 b)和成对出现的结论(如A ∪ B = A ∩ B,

A ∩ B = A ∪ B等)，以及借助配对巧妙求值的算法(如A＝sin10°

sin30°sin50°sin70°，B＝cos10°cos30°cos50°cos70°，则

A·B＝

1 sin20°sin60°sin100°sin140°＝ 1

16 16

B ⇒ A＝

1 尤其成对

16

出现的命题，只需将其中一个的推理论证过程系统地予以改造即得另一个命题的证明．这些现象属于巧合，还是隐藏着必然规律？除了体现类比思维格式外，能否上升到定性的理论层次？事实上，射影几何中的对偶原理正好可看作上述对偶化方法的升格，或说上述现象正好是对偶原理在中学数学中的渗透．在射影平面上，视“点”与“直线”为对偶元素，“点在直线上”与“直线过点”、“两直线交于一点”与“两点连成一条直线”等基本关系称

为对偶关系，“通过一点作直线”与“在直线上取一点”叫对偶运算．当将命题中的基本元素换成对偶元素、基本关系换为对偶关系、各运算改为对偶运算时，即得一对对偶命题．如果其中一个命题正确，则另一个也必正确(如巴斯卡定理和布利安双定理)．同时，应该注意到，对欧氏几何虽有一些对偶命题成立，但欧氏几何中对偶原理不成立．在对偶观点指导下，可指导学生编撰、构造命题，一方面可激发兴趣和求知欲望，另一方面有利于培养创造性思维．

例 5 “貌合神离”与“数据拟合”．

学生提出的稀奇古怪的问题反映了学生的创新意识和思维水平，也可诱发教师作深层次的思考，可谓“教学相长”．一味讽刺学生“钻牛角尖”的老师实际上自己痛失了很多学习、钻研的课题和机会．比如有一次当我引导学生画正弦函数 y＝sinx 的图象后，有几名学生突然“质问”： y＝sinx

的图象好像是若干条抛物线对接起来的，为什么不用形如y＝ax ²＋bx＋c 的

解析式分段表示函数 y＝sinx(x∈R)呢？学习过《计算方法》的教师应该意识到，学生的怪问实质触及到了插值多项式理论及数据拟合知识．对y＝sinx(0≤x≤π)，取x＝0， π ，π，得y＝0，1，0，其相

2

4

应的二次lagrange插值多项式为P(x) ＝ π2 ·x(π－x) ，由此可近

似计算出p( π ) ＝0．75(sin ＝

4 4

2

2 ≈0．71)．为了控制误差，

插值函数究竟选用一般的多项式，还是有理分式或三角多项式等，埃尔米特(Hermite)、傅里叶(Fourier)等专门进行过研究．现代数学分支──函数逼近论的基本思路就是研究用易于计算的表达式来研究函数．插值问题所求得的函数y＝ψ(x) 在插值节点上满足y i ＝ψ(xi )(即所求曲线通过点(xi ，

yi ))，数据拟合法则只求用近似曲线反映数据的变化趋势．有了

上述理论保证，我们可以胸有成竹地回答学生：y＝sinx(x∈[0，π])的图象确实很像二次曲线，但不是二次曲线，根据需要可用二次曲线来进行拟合．

例 6 “大小关系”与“顺序关系”．

高中教材“复数”部分指出：两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小．仔细推敲，似乎有两层含义：其一，两个实数可以比较大小； 其二，两个不全是实数的复数不能用两个实数大小关系来进行比较．追根求源，实数的大小关系指的是什么？两个复数可用别的“大小关系”来比较吗？

所以当不涉及代数运算而仅涉及序关系时，复数还是可以比较“大小”的．由此可知，复数不能比较大小，实质是指在通常的大小关系下复数集不能成为有序域或全序集；复数可以比较“大小”，实质是指复数集可成为有序集．

例 7 “加减乘除”与“运算”

曾引起广泛讨论的“式子｜x｜”究竟是不是代数式，实质还是在于对运

算及运算符号的理解．初中教材定义“用运算符号将数及表示数的字母联结而成的式子叫代数式”，这里所指运算为加、减、乘、除、乘方、开方运算， 即通常所说的代数运算．而｜x｜不属于代数运算，也非超越运算，因此可以说｜x｜既不是代数式，也不是超越式．为何会出现诸如｜x｜、集合运算、逻辑运算、极限运算等不隶属于代数运算及超越运算的情况呢？这必须从运算的产生、形成、发展来回答．

随着数的不断扩张，运算的对象和种类也在不断更新、增加，并逐步抽象化，后续抽象发展的运算概念当然不可能隶属于前期已形成的运算概念．具体地讲，在初等数学时期，由于仅限于对数、式、向量及一些几何图形，其相应的运算即为初等代数运算、初等超越运算和几何运算；到了变量数学时期，由于对变量、函数等实施运算，由此形成了无限运算——极限运算，进而产生了微分、积分运算；到了近代数学时期，由于对集合、命题等进行运算，因此形成了交、并、补等运算．即使同一种运算对象，运算内涵也在不断变迁，比如初等几何中对图形有平移、旋转、位似等变换，而现代分形学中对图形将研究其更精细的结构，如自相似性、维数等．由运算发展历程可知，所谓运算，实质就是一个映射；所谓代数运算，就是集合 A×B 到集 C 的映射．研究运算，首先要明确并非任何元素都可以进行某种运算，例如除法中零不可以做除数、对数运算中零和负数没有对数等；其次要考虑运算结果 的 唯 一 或 多 值 性 ， 例 如 4 的 平 方 根 是 ＋ 2 和 － 2 ，

由sinx

1

＝ 2 可得

x＝kπ＋( －1) ^k · π (k∈Z) 等，运算的结果并非唯一

6

的，而一般四则运算(O×( )＝0 除外)，其结果是唯一的；另外还要考虑运算的封闭性；最后还要研究相应的运算规律和结构性质．按此观点，中学阶段的运算，大部分可归结为代数运算，但也出现了无限运算、逻辑运算、向量运算．

例 8 “二面角的平面角”与“科学概念”．

每一个数学概念都好比一部史实，它记录了人类认识和改造客观世界的历程，也反应了不同时期人类思维的抽象概括的水平．每一个数学概念的提出都是为了直观、深刻地描述或刻划自然界的某种形式或关系，既要体现直观性，又要讲究科学性，其用于刻划的指标应存在且唯一．比如二面角的平面角，如果在二面角的棱上任取一点，分别在两个面内作与棱垂直的射线， 根据空间等角定理知，两条射线所成的角与点在棱上的位置无关，且其数量唯一，因此符合科学性原则．但仔细探究，若以棱 a 上任意一点 O 为端点， 在两个面内作与棱成等角θ′(0°＜θ′＜ 90°)的两条射线 OA′、OB′， 由空间等角定理知，∠ A′OB′也存在且唯一．为什么不用这样的角定义二面角的平面角？通过研究发现，记∠AOB＝θ，∠A′OB′＝ψ，当 OA′、OB

′在平面 AOB 同侧时 θ＞ψ；当 OA′、

OB′′在平面 AOB的异侧时θ＜ψ．另不难得出sin² θ′＝ cosϕ − 1 (*)．

cos ϕ − 1

即使限定 OA′、OB′在平面 AOB 的同侧，若用∠A′OB′＝ψ表示二面角的大小，则由(*)知，ψ与θ之间存在一个较复杂的数量关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来不便；另外，若用∠A′OB′＝ψ表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时ψ≠90°；当平面为α与半平面β在同一平面时，ψ＝2 θ≠180°，这都与已有知识和经验不符，不能直观反映出两个相交平面的相

对位置关系．

除以上各例外，具有一定的高数背景、可利用高数及其发展的观点指导研究的还有：幂函数、指数函数、对数函数(公理化定义)、数学归纳法(皮亚诺公理)，数列(级数)等，本文不一一赘述．