一、几何直觉——最大视觉

稍加回忆，我们就找到了熟知的“最大视角”问题，这样的几何结构， 在 1986 年全国高考和 1991 年的上海高考出现过(见文[3])

如图 2，取 M(3cosθ，2sinθ)，A(3cosθ，3sinθ)，由圆周角大于圆外角知，当△AOM 的外接圆与 x 轴相切时，∠ AOM＝θ－argz 最大，由弦切角定理得

∠MON＝∠OAN，即argz＝ π －θ． ①

2

有 2sinθ ＝tg(argz)＝tg( π －θ)＝ctgθ，

3cosθ

3

得tgθ＝ 2

2

6

，θ＝arctg 2 ．

进而 y＝θ－argz ＝2θ－ π

2

= 2arctg 6 − π

2 2

此处，“当△AOM 的外接圆与 x 轴相切时，∠AOM 最大”是一个直觉．本例与“最大视角”有一个不同是：“最大视角”中的线段 AM 为定线段，O 为x 轴上的动点；而本例中恰好相反，线段 AM 为动线段，O 为 x 轴上的定点．把这两者同等看待又源于一个直觉：从相对运动的观点看来，视 AM 为定线段后，将坐标系作平移或旋转．这些想法就是文[4]中此例处理的背景．

为了给数学直觉一个逻辑铺垫．我们首先找出了一个麻烦的几何说明．如

图3，设△MOA的外接圆与x轴相切于O，又另取θ ∈(0， π )，

1 2

记A1 (3cosθ1，3sinθ 1 )，M1 (3cosθ 1，2sinθ1 )，则M1

对应的复数为

z1 ＝3cosθ1 ＋i·2sinθ 1， 且∠M1OA 1＝θ 1－argz 1．

过A1作OA的平行线交x轴于O1，连结O1M1，则Rt△A1O1N1∽Rt△AON，有

A1 N1 ＝ O1A 1 ＝ O 1N 1 ＝k，其中k为比例系数．

AN OA ON

由∠O1A 1M1 ＝∠OAM，且

A1 M1 ＝ 3A1 M1 ＝ A 1 N1 ＝ O1A 1 ，

AM 3AM AN OA

得△M1O1A 1∽△MOA，从而

∠M1O1A 1＝∠MOA＝θ－argz，

但由切割线定理知

O1 N12 ＝(k·ON) ² ＝k² ·(NM·NA)

＝(k·NM)(k·NA) ＝N1 M1·N 1A 1．

可见，△M1O1A 1也与x轴切于O1，由圆周角大于圆外角知

∠M1O1A 1＞∠M1OA1 ，

即∠MOA＞∠M1OA 1．

这就说明了，当△MOA 的外接圆与 x 轴相切时，∠ MOA 最大，我们大跨度

的直觉没有搞错，但解释过程稍嫌麻烦．