诱导猜想，发现思路

当我们证明不等式 M≥N(或 M＞N、M≤N、M＜N)时，可以先考察 M＝N 的条件，基本不等式都有等号成立的充要条件，而且这些充要条件都是若干个正变量相等，这就使我们的思考有了明确的目标，诱导猜想，从而发现证题思路．这种思想方法对于一些较难的不等式证明更能显示它的作用．

例 4 设 a、b、c 为正数且满足 abc＝1，试证：

1

a³ (b + c) +

1

b³ (c + a)

1

+ c³ (a + b)

≥ 3 .( 第36届IMO第二题)

2

分析：容易猜想到 a＝b＝c＝1 时，原不等式的等号成立，这时

1

a ³( b + c) +

1

b³(c + a)

1

+ c³(a + b)

≥ 1 .．考虑到“≥”在基本不等式中表现为

2

“ 和 ” 向 “ 积 ” 的 不 等 式 变 换 ， 故 想 到 给 原 不 等 式 左

边的每一项配上一个因式，这个因式的值当a＝b＝c＝1 1

2

且能通过不等式变换的运算使原不等式的表达式得到简化．

1

a³ (b + c) 1

• b + c ≥

4bc

+ c + a ≥= 1 ,

= 1 , a

b³ (a + c)

1

c³(a + b)

4ca b

+ a + b ≥= 1 , 4ab c

将这三个等式相加可得

1 + 1 + 1 1 1 1 1 ( b + c + c + a + a + b)

a³ (b + c) b³ (c + a) c ³(a + b) ≥ a

• b + c − 4 bc ca ab

1 1 1 1 3

= 2 ( a + b + c) ≥ = 2 ，从而原不等式获证．

这道题看似不难，当年却使参赛的 412 名选手中有 300 人得 0 分．上述凑等因子的思路源于由等号的成立条件而产生的猜想，使思路变得较为自然，所用的知识是一般高中生所熟知的．再举二例以说明这种方法有较大的适用范围．

例 5 设 a，b，c，d 是满足 ab＋bc＋cd＋da＝1 的正实数，求证：

a 3

b + c + d +

b3

a + c + d +

c 3

a + b + c

≥ 1 ．(第31届IMO备选题)

3

证明：

a 3

b + c + d +

a(b + c + d) 9

≥ 2 a²

3

b3

a + c + d c3

a + b + d d 3

a + b + c

a 3

b(a + c + d)

+ 9

c(a + b + d)

+ 9

• d(a + b + c)

9

b3

≥ 2 b²

3

≥ 2 c²

3

≥ 2 d²

3

c3 d3

∴ b + c + d + a + c + d + a + b + d + a + b + c

≥ 2 (a ² + b ² + c² + d ² ) − 2 (ab + bc + cd + da)

3 9

= 5 (a ² + b² + c² + d² ) − 2 (ab + bc + cd + da)

9 9

1 (a ² + c² − 2ac + b² + d ² − 2bd)

9

≥ 5 (a ² + b ² + c² + d ² ) − 2 (ab + bc + cd + da)

9 9

≥ 5 (ab + bc + cd + da) − 2 (ab + bc + cd + da)

9 9

= 1 (ab + bc + cd + da) 3

= 1

3

当a＝b＝c＝d 1 1 ，

＝ 2 时，原不等式左边的四个项都等于12

由此出发凑“等因子”．对于某些中学数学中的常见问题也可用这种方法解决，降低问题解决对知识的要求．

例6 设a，b，c，d∈R^＋ ，a＋b＋c＋d＝8，求M＝ +

• + 4d + 1的最大值．

分析：猜想当 a＝b＝c＝d＝2 时 M 取得最大值，这时 M 中的 4 个项都等于 3．要求 M 的最大值，需将 M 向“≤”的方向进行不等变换，由此可

3 + 4a + 1

得3 ≤

2

= 2a + 2，3

≤= 2b + 2，3

≤= 2c + 2，

3 ≤= 2d + 2．于是3M≤2(a＋b＋c＋d)＋8＝24，∴M≤8．

当且仅当 a＝b＝c＝d 时等号成立，所以 M 的最大值为 8．

当然，例 6 利用平方平均数不小于算术平均数是易于求解的，但需要高中数学教材外的知识．利用较少的知识解决较多的问题，是数学自身的追求， 而且从教学上考虑，可以更好地培养学生的数学能力．先有猜想，后有设计， 再有证法，也是数学地思考问题的基本特征．