伯克霍夫的工作与 KAM 定理

美国数学家伯克霍夫（Birkh off，George 1884～1944）是 20 世纪初少数几个认识到庞加莱动力系统研究工作的重要性的人物之一，他继承和发展了庞加莱的工作。

伯克霍夫把庞加莱截面方法用于探索哈密顿系统的一般行为。他发现微分方程的性质取决于正则级数的收敛性。如果正则级数是收敛的，则微分方程的解位于 N 维不变环面上。但实际上级数的收敛、发散与否取决于振幅的大小。当考虑非线性作用时，椭圆不动点周围的不变环面有些遭到破坏，有些继续存在但有点变形。

1932 年，伯克霍夫证明，对应于不变环面的消失，存在不稳定区域， 它可以被一条扭曲映射下的不变曲线所包拢，而区域内并无环绕原点的不变曲线。他实际上已经证明，任意接近外边界的点，在映射作用下可以任意接近内边界，反之亦然。在研究不稳定区的结构时，伯克霍夫让一个收缩性的扭曲映射作用于两条不变曲线之间的不稳定区域，结果不稳定区域被映射到一个更小的子区域中；映射的迭代最终把原区域变成了一个面积为零、结构极其复杂的极限集合，位于原区域中的点的轨迹都收敛到这个集合中去了。

伯克霍夫实际上已经发现了“混沌行为”和现在所说的“奇怪吸引子” 的实例，他当时称之为“奇特曲线”。更值得提出的是，他已经意识到这种行为是动力系统的通有行为。除伯克霍夫等极少数人之外，几乎没有人沿着庞加莱的道路前进。直到 20 世纪 60 年代以后，对动力系统的研究才有了长足的进展。

1960 年前后，前苏联数学家柯尔莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿诺德（Arnold，V.I.）和莫塞尔（Moser，J.）提出并证明了以他们的姓氏的字头命名的 KAM 定理。这个定理的基本思想是 1954 年柯尔莫果洛夫在阿姆斯特丹举行的国际数学会议上宣读的《在具有小改变量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性》短文中提出的。后来他的学生阿诺德做出了严格的证明，莫塞尔又推广了这些结果。

按照分析力学方法，N 个自由度系统的哈密顿函数是 H=H（p1，p2⋯⋯ pN；q1，q2⋯⋯qN），系统的运动由哈密顿正则方程

⋅ ∂H ⋅ ∂H

q i = ∂Pi , Pi = − ∂qi

确定。如果能够找到一系列正则变换，从广义动量 p1，p2⋯⋯pN 和广义坐标 q1，q2⋯⋯qN 变到另一套作用-角度变量 J1，J2⋯⋯JN 和θ1，θ2⋯⋯ θN，使得利用新变量表示的哈密顿函数只依赖于前一半变量 J1，J2⋯⋯JN， 而与θ1，θ2⋯⋯θN 无关，则这个力学系统就是完全可解的，即为一可积系统。因为这意味着这个系统的行为可化简，归约为 N 维环面上的条件周期运动。相反，如果找不到一种变换，使得哈密顿方程只包含作用变量， 则系统是不可积的。实际上，对于多数保守系统，是无法找到这种正则变换的。

KAM 定理是关于近可积系统的一个重要的、一般性结论，有十分重要的意义。假定系统的哈密顿函数分为两部分

H = H 0 （J i ） + εV（Ji ，θ i ）

其中 H0 部分是可积的，V 是使 H 变得不可积的扰动，只要ε很小，这就是一个弱不可积系统。KAM 定理断言，在扰动较小，V 足够光滑，离开共振条件一定距离三个条件共同成立下，对于系统的大多数初始条件，弱不可积系统的运动图象与可积系统基本相同。可积系统的运动限制在由 N 个运动不变量决定的 N 维环面上，而弱不可积系统的绝大多数轨道仍然限制在稍有变形的 N 维环面上，这些环面并不消失，只有轻微的变形，称为不变环面。不过，只要有非零的扰动，总会有一些轨道逃离不变环面，出现不稳定、随机性的特征；但只要满足 KAM 定理的条件，这些迷走轨线是零测度的，不代表系统的典型行为。

大量的计算机数值实验表明，破坏 KAM 定理的任何一个条件，都会促使迷走轨线增多，使运动的不规则性和随机性增大，最终导致混沌运动。当然，这运动所遵循的仍然是决定性的牛顿力学方程式。所以，KAM 定理以一个限制性原理的形式，从反面泄露了有关牛顿力学面目的真实信息。它暴露出，确定性的动力系统，只要精确地从同一点出发，其运动就是一条确定的轨道；但是只要初始条件有无论多么微小的变化，其后的运动就会变得无序和混乱，就如同掷骰子一样，是随机和不可预测的。这就是牛顿力学的内禀随机性。