引力场方程的提出

在格罗斯曼的帮助下，爱因斯坦找到了适用于广义相对论理论所需要的数学工具──绝对微分学。但是，在一开始所得到的引力场方程只对线性变换才是协变的，还不具有广义相对性原理所要求的，在任意坐标变换下所具有的协变性，这是因为在当时，爱因斯坦还不太熟悉张量运算，他只保留了守恒定律而放弃了广义协变关系。尽管这一尝试还不算成功，以研究复变函数、特殊函数，并于 1902 年得到拉普拉斯方程普遍解而成名于世的英国数学家惠特泰克（Whittacker, Edmund Taylor1873-1956)却给予它很高的评价。他认为用十个引力势函数 g_{? ? 确定引力场是一个巨大的创}

新，因为它意味着抛弃一个由来以久的信条，即引力场能被一个单一的标量势所描述①。在爱因斯坦重新回到普遍协变要求，并对黎曼-克里斯托菲尔曲率张量有了新的认识以后，相对论引力理论的研究有了真正的进展。此时，引力问题与两个里奇张量联系在一起，

Gim=Rim+Sim

其中 Rim = −∂Γ^l / ∂x^e + Γ^ρ Γ^l

im il ρm

Sim = −∂Γ^l / ∂x ^m − Γ ^ρ Γ^l

il im ρl

再补充以协变性要求，爱因斯坦得到了引力场方程

R − 1 g R = 8πG T + Λg

μν 2 μν c 4 μν μν

在自由空间中，该方程变为

R − 1 g R = 0

μν 2 μν

其中 R_{? ? 是里奇曲率张量，R 为标量曲率，T? ? 为能动张量，∧为宇宙学常数。}

广义相对论理论依赖于两个彼此独立的假定。第一个假定是，引力场

对物质的影响可以利用弯曲时空度规g_{? ? 代替平直时空度规——闵可夫斯基度规描述。其实，这就是等效原理的数学表述，这一假定已被厄阜扭秤}实验，以及以后的迪克、贝林斯基(Belinsky)等人的实验所证实。第二个假定便包含在爱因斯坦的引力场方程之中。这个方程假定了描述时空弯曲

的度规与物质及能量分布间的联系，又因为能动张量还与其它非引力性质的力有关，这一方程又反映了引力场与其它力的关系。

与麦克斯韦电磁场方程不同，引力场方程所包含的十个关于 g_{? ? 变量}

的方程组都是非线性的，但是，它对任意曲线坐标变换却是不变的。由于缺乏严格解的普遍方法，只能逐个找到特殊情况下的近似解。例如史瓦西所得到的方程解就是静态球对称引力场方程的特殊解，它已经被著名的三大实验所验证。在得到史瓦西解的同时，一个棘手的问题也随之出现，这就是在史瓦西半径上的度规分量奇点的出现。尽管后来爱丁顿与奥本海默分别找到了消除奇点的坐标系，但是直到 40 多年以后，即 1959 年，弗伦斯克尔(Fronskel)、芬克尔斯坦(Finkelstein)及克鲁斯克尔(Kruskal)引入了新坐标系，奇点不仅被消除，在 r=2M 处还能以“咽喉”将两个渐近平直区域连通起来，此时，人们对奇点有了更进一步的认识。