湍流研究和奇怪吸引子

湍流现象普遍存在于行星和地球大气、海洋、江河、火箭尾流、锅炉燃烧室、血液流动等自然现象和工程技术中。湍流的出现将使流体中的质量、动量和能量的输运速度大大加快，从而引起各种机械的阻力骤增，效率下降，能耗加大，噪音增强，结构振颤加剧乃至破坏，如使飞机坠落， 输油管阻塞。另一方面，湍流又可能加速喷气发动机内油料的混合和充分燃烧，提高燃烧效率和热交换效率，加快化学反应的速度和混合过程。所以湍流的研究对工程技术的进步有重要意义。同时湍流本身也是物理学领域中尚未取得重大突破的基础研究课题之一。因此长期以来湍流的研究一直受到各方面的重视。

湍流是流体中局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。其基本特征是流体微团运动具有随机性，它不仅有横向脉动，而且有反向运动，各个微团的运动轨迹极其紊乱，各个部分之间剧烈渗混，流场极不稳定，随时间变化很快。湍流的运动不仅有无穷多个自由度，大、中、小、微各种尺寸的涡旋层层相套，而且运动的能量迅速由大尺度运动分散到小尺度运动，错综复杂地由整化零，是高度耗散的。湍流是经过一次或多次突变形成的，在紊乱无规的背景中又会出现大尺度、相当规则的结构和协调一致的运动，所以给研究工作带来极大的困难，经过一百多年的研究，现在还没有得到令人满意的理论解释。有一个传说，说

量子力学家海森伯在临终前的病榻上向上帝提了两个问题：上帝啊！你为何赐予我们相对论？为何赐予我们湍流？海森伯说：“我相信上帝也只能回答第一个问题”。

早在 1893 年，庞加莱就发现了湍流问题，但又偏离了它。他发现，液体流中的涡旋通常不扩散，而是倾向于集中到单个涡旋之中。他说这一现象还没有恰当的数学解释。实际上他讨论的是二维现象，还不是真正的湍流，但与间歇现象有明显的联系，表明他已很接近湍流的探讨。

1895 年，雷诺(Reynolds，Osborne 1842～1912)提出湍流瞬时运动可分解为时间平均和脉动两个部分，即

f(x, t) = f( x) + f '(x, t)

其中f 是相应力学量的时间平均量，f′是脉动值。将这个分解式代到纳维-斯托克斯方程组中，可得到关于平均流动元素满足的雷诺方程组。但方程组不封闭，多出 6 个未知的湍应力分量。只有找到湍应力和平均流动元素之间的相应关系式，才可使方程组封闭，至今这一问题仍未获解决。法国流体动力学家库埃特(Couette，M.M.1858～1943)为了研究流体被

扭曲的“切变流”，曾制造了一个筒里套筒的双圆筒装置，中间装上水， 使外筒固定，内筒旋转，有控制地进行切变实验。1923 年，英国应用数学家泰勒(Taylor，GeoffreyIngram1886～1975)利用这种旋转同心柱体进行实验。当内筒转速足够高时，发现流体不再平稳地转动，而是搅乱成成对的涡旋，涡旋会变成波状，波动又此起彼伏，出现麻花涡旋、辫子涡旋等螺旋模式；转速更高时，系统则呈湍流状（图 9）。

图 9 库埃特-泰勒实验中的波状涡旋

由于湍流看起来包含着十分微小的涡旋，而小于原子尺度的涡旋又是不可想象的，所以可以设想湍流是原子结构的宏观效应。1934 年，法国数学家勒雷(Leray)提出，纳维-斯托克斯方程在原子尺度上的不准确度，经过物理流传播后规模变大而形成湍流。他据此解释了湍流的间歇现象。1941 年，前苏联科学家柯尔莫果洛夫对涡旋的性质提出了一些看法。他设想， 大涡旋中形成更小的涡旋，而每一次都会消耗流体的能量；当涡旋变得非常小，粘性流体的能量也会减少到一个极限值。他认为，这些涡旋充满流体的整个空间，使得流体处处相同。实际上这个均匀性假设并不正确，他忽视了湍流的间歇现象。40 年前庞加莱就已经看到，在江河的湍流中，涡流总是和平稳流混在一起的，能量仅在空间的一部分中耗散。在湍流区域的各种尺度下，都存在着平静的区域；在从大到小的所有尺度下，汹涌的区域与平静的区域是互相混杂的。这就是间歇现象。

那么，平稳流是如何变成湍流的呢？也就是说湍流开始的时候是通过什么样的步骤形成的呢？1944 年，前苏联物理学家朗道(Landau，Lev 1908～1968)在一篇论文中提出了湍流肇始的一幅图景：当表征系统中外力与粘滞力竞争的无量纲雷诺数为零时，流体将做光滑的平稳流动；当由于外界的扰动而使雷诺数增大时，层流中分枝出一个周期轨道，对应于流体的周期运动；当更多的能量进入流体，即雷诺数不断增大时，每次都出现一个与上一个频率不和谐的频率；当频率数足够大时，拟周期运动即转变为湍流。这就是说，各种不同频率的运动的积累和叠加，相互交错干扰， 就会产生非常复杂的湍流。1948 年，德国数学家霍普夫(Hopf ， Eberhard1902～1983)按照同朗道一致的思路，提出了一个更加详细的理

论，即通过摆振的积累而由平稳层流转变为湍流的具体机制。此后 20 多年，霍普夫-朗道理论曾被广泛接受。

1967 年，Kline 首先利用氢气泡显示技术通过实验发现了近壁湍流的相干结构（拟序结构）。这种大尺度的涡旋运动在将流体的平均运动动能转变为湍流的动能的过程中，起了主要的作用。人们通过进一步的流体动力学实验，还发现了自由剪切流的相干结构。到 80 年代，流体力学家们普遍认识到相干结构是对湍流的生成、维持和演化起主要作用的结构。所以有人认为相干结构的发现是湍流研究上的一个革命性的进展。不过到目前为止，关于相干结构的定义、成因和定量分析还有不少问题有待研究。

关于湍流的形成，即流体的运动是如何从层流转变成湍流的问题，目前流行的看法是认为，在层流中由于各种原因出现的扰动波，经演化、放大、失稳而导致流体运动的不稳定，最终发展为湍流。

70 年代以来，非线性科学关于混沌现象的理论和实验研究的进展，为解决湍流理论的百年难题提供了启示。特别为解决湍流的发生机制、小尺度混乱与大尺度结构共存等问题带来了希望。

1971 年，法国物理学家茹勒(Ruelle，David)和荷兰数学家泰肯斯(Takens，Floris)的《论湍流的本质》一文，对湍流的研究产生了很大的影响。他们的结论否定了霍普夫-朗道关于湍流起始阶段的传统观点。朗道和霍普夫的直觉即一系列不同频率摆振的累积在数学上和物理学上似乎是容易理解的，但他们的理论在某种程度上是源于哈密顿动力学的，不适用于有摩擦的耗散系统。在粘滞流体的流动中充满着摩擦。茹勒和泰肯斯指出，由平稳流向湍流的转变，不需要一系列的频率，只要三个独立的运动就会产生湍流的全部复杂性。他们描绘出如下的图景：第一次转变，即从定态到单个摆振，产生流体中的周期运动。第二次转变，即加上一个不同频率的摆振，开始时像两个独立的周期运动的拟周期叠加，但这种运动不能继续保持下去，微小的扰动就会破坏掉它。两个独立的周期运动将相互作用而变得同步，合成为具有单个合成周期的周期运动，即发生锁频现象。当有三个叠加频率时，不再发生频率的锁定现象，而会出现一个新奇的结果，即运动进入维数不多的“奇怪吸引子”。他们认为，湍流能量的耗散， 必定导致相空间的压缩，把运动轨迹向着吸引子的低维相区推进。这个吸引子不会是不动点，因为湍流不会逐渐平息；也不会是周期吸引子，因为湍流是一种不同次序的性态，决不可能产生任何排斥其它节奏的节奏，它具有各种可能循环的整个宽谱。其相轨迹可能是一种继续不断变化、没有明显规则或次序的许多回转曲线，所以称为“奇怪吸引子”。茹勒和泰肯斯论文中的一些推理和证明是模糊的、错误的，但他们提出的“奇怪吸引子”的图象，却是十分吸引人的。因为湍流的产生可能很好地对应于奇怪吸引子的出现。这是对湍流产生机制的一个很好的阐明。

1973 年，美国实验物理学家斯文尼(Swinney ， Harry) 和戈鲁布(Gollub，Jerry)利用旋转同心柱体产生的库埃特-泰勒流进行实验。外面是一个玻璃圆筒，有空网球筒那么大；内柱体是用平滑的薄钢板做成的； 两柱体之间有八分之一英寸的间隙用来装水。他们利用激光多普勒干涉仪技术，即利用激光光束在悬浮于水中的小小铝粉片上的散射，来测定水的速度变化。本来他们是打算验证朗道关于由液体中不同频率摆振的平稳积累而形成湍流的论断。他们不断调节内柱体的旋转速度，反复观察出现的

跃迁。他们观察到了朗道预言的第一个转变的精确数据；他们大胆地寻找着下一个转变。但是，他们未能找到预期的朗道序列，在下一个跃迁处， 流一下子进入混乱状态，一点也没有可准确识别的新频率；相反，却逐渐显出宽带频率。“我们的发现是，变成了混沌！”不过，当时他们还不知道茹勒-泰肯斯理论。

1974 年，茹勒访问斯文尼和戈鲁布的实验室时，三位物理学家才发现了他们的理论和实验之间的点滴联系。斯文尼和戈鲁布没有用他们的实验观察奇怪吸引子，也没有检测湍流最初阶段的具体步骤，不过他们知道， 朗道错了；而且他们猜测茹勒是对的。

1983 年，法国数学家曼德尔布罗特(Mandelbrot，Benoit)指出，湍流的耗散区域，即湍流中大大小小不同尺度的涡旋高度集中的区域，是一种间歇状的分形结构，具有局部的自相似性。因此分形理论在湍流的研究中也有重要应用。

由于湍流的瞬时运动服从纳维-斯托克斯方程，而这一方程本身就是封闭的，所以很容易直接用电子计算机数值求解完整的纳维-斯托克斯方程， 对湍流的瞬时流动进行直接的数值模拟。不过由于受到计算机速度和容量的限制，目前的数值模拟还只限于很低的雷诺数和很简单的几何边界条件的情况；而实际的湍流运动大多发生在高雷诺数和边界条件很复杂的情况。所以，湍流的完整理论的形成，还需做很多艰巨的工作。茹勒和泰肯斯提出的“奇怪吸引子”理论，并不只对湍流的研究有重要意义，而是对整个混沌理论的发展都有重要作用。利用相空间描述系统的演化要用到“吸引子”概念。一般的动力系统，最终都会趋向于某种稳定态，这种稳定态在相空间里是由点（某一状态）或点的集合（某种状态序列）来表示的。这种点或点的集合对周围的轨道似乎有种吸引作用，从附近出发的任何点都要趋近于它；系统的运动也只有到达这个点或点集上才能稳定下来并保持下去，这种点或点集就是“吸引子”。它表示着系统的稳定定态，是动力系统的最终归缩，即系统行为最终被吸引到的相空间处所。

经典力学指出，有三种类型的吸引子。一种是稳定的不动点，它代表一个稳定定态；第二种是稳定的“极限环”，即相空间中的封闭轨线，在它外边的轨线都向里卷，在它里边的轨线都向外伸，都以这个封闭曲线为其极限状态。极限环代表一种稳定的周期运动；第三类吸引子是稳定的环面，代表系统的准周期运动。

对一个动力系统来说，在长时间后系统的性态只可能是吸引子本身， 其它的性态都是短暂的。所以吸引子的一个重要特征是“稳定性”，它表示着运动的最终趋向或“演化目标”，运动一旦进入吸引子，就不会再离开它；当一个小的扰动使系统暂时偏离吸引子后，它也必然会再返回来的。吸引子的另一个重要特征是“低维性”，它作为相空间的点集合，其维数必定小于相空间的维数。

上述几类吸引子，都代表规则的有序运动，所以只能用于描述经典动力系统，而不能描述混沌运动。有耗散的混沌系统的长期行为也要稳定于相空间的一个低维的点集合上，这些点集合也是一种吸引子。但是混沌之所以是混沌，就是它绝不可能最终到达规则的有序运动；因而在它的吸引子内部，运动也是极不稳定的。在这种吸引子上，系统的行为呈现典型的随机性，是活跃易变和不确定的。更为奇特的是，混沌系统的吸引子（点

集合）具有极其复杂的几何图象，如果没有电子计算机这种高效工具，混沌吸引子是无法绘制出来的。所以茹勒和泰肯斯把它们称为“奇怪吸引子”，以区别于前述那几种“平庸吸引子”。奇怪吸引子既具有稳定性和低维性的特点，同时还具有一个突出的新特点，即非周期性——它永远不会自相重复，永远不会自交或相交。因此，奇怪吸引子的轨线将会在有限区域内具有无限长的长度。

洛仑兹所给出的那个绕两叶回转的永不重复的轨线，就是一个奇怪吸引子——“洛仑兹吸引子”。它是在三维空间里的一类双螺旋线；系统的轨道在其中的一叶上由外向内绕到中心附近，然后突然跳到另一叶的外缘由外向内绕行；然后又突然跳回原来的那一叶上。但每一叶都不是一个单层的曲面，而是有多层结构。从中取出任意小的一个部分，从更精细的尺度上看，又是多层的曲面。所以这种螺旋线真是高深莫测、复杂异常。它永远被限制在有限的空间内，却又永不交结，永无止境。1976 年，德国的若斯勒考察了一个更为简化的洛仑兹方程

dx/dt=-(y+z) dy/dt=x+ay dz/dt=b+xz-cz

这个方程组的特点是只有最后一个方程中含有非线性项 xz。若斯勒由这个方程组得出了一个洛仑兹吸引子的变种（图 10）。

图 10 若斯勒奇怪吸引子

它也是由很多层次构成的复杂几何图象。与洛仑兹吸引子不同，若斯勒吸引子只有一片。它似乎是这样形成的：当 z 较小时，系统的轨道在(x， y)平面或平行于它的平面内向外旋；当 x 足够大时，z 开始起作用，轨道在 z 轴方向拉长；当 z 变大后，dx/dt 则变小，轨道又被拉回到 x 较小处。三个变量的交互作用，产生了轨线的复杂运动。

除此之外，混沌学家们还得到了一些其它的奇怪吸引子。可以断言， 充分认识奇怪吸引子的作用，对许多问题的探索，都会有巨大的作用。不过，奇怪吸引子的数学理论是困难的，目前还处于起始的阶段。正像茹勒所说：①“这些曲线的花样，这些点子的影斑，往往使人联想到五彩缤纷的烟火，或宽阔无垠的银河；也往往使人联想到奇怪的、令人烦躁不安的植物繁殖。一个崭新的领域展现在我们面前，其结构需要我们去探索，其协调（和谐）需要我们去发现。”