物理几何化

在建立相对性引力理论过程中，爱因斯坦、庞加莱及闵科夫斯基最初的尝试都未能成功，其关键都在于与理论相关的时空结构。

在迈向成功的道路上，爱因斯坦获得飞跃性的认识来源于对刚体转动圆盘的研究。在他 1912 年 2 月所发表的《光速和引力场的静力学》一文中， 他认为，由于洛仑兹收缩，圆周与半径之比不再为π，这表明，惯性系的观察者得出沿圆周运动方向运动的尺有尺缩效应，而相对非惯性旋转系的观察者根据等效原理，会认为所在系是静止不动的，却存在着一个“离心的引力场”，由于圆周与半径之比不再为π，他自然会解释为，由于这一引力的存在，使欧几里德几何不再成立。将这一结论扩展到一切真实引力场，有引力的空间都将不再是欧几里德的。这就是爱因斯坦所解释的，“把等效原理和狭义相对论结合起来，很自然地得出，引力与非欧几何联系在一起”的结论。当时爱因斯坦对非欧几何所知甚少，仅在大学读书时从基塞(Geiser)教授那里学到一点微分几何的知识，正是其中有关高斯曲面理论使爱因斯坦受到启发。他曾回忆道，“直到 1912 年，当我偶然想到高斯的曲面理论可能就是解开这个奥秘的关键时，这个问题才获得了解释。我发现，高斯曲面坐标对于理解这个问题是十分有意义的。”①

德国数学家高斯(Gauss, Johann Karl Freidrich1777～1855）从大地测量中受到启发，创立了二维曲面的微分几何理论。他在曲面上引入曲线坐标 u 和 v，并证明曲面上任意线元具有如下普遍形式

ds²=g11du²+g12dudv+g21dvdu+g22dv²

其中 g11，g12，g21，g22 均为变量 u 和 v 的函数，称之为度规，它们由曲面的物质所决定。根据高斯的曲线坐标和度规，不仅可以确定曲面上的测地线（即弯曲空间的“直线”），还可以找到曲面的曲率，并进一步证明曲面所在空间的非欧几里德性质。高斯曲面即为一种弯曲的二维空间结构，然而在其中一点的任意一个小的邻域上，它应近似为平面，在这个局域，欧氏几何仍将成立，并与局域的笛卡尔系相对应。

爱因斯坦把引力空间与高斯曲面理论做了类比思考，他发现，引力所在的空间具有类似高斯曲面的几何性质，特别是当他把闵可夫斯基对狭义相对论所做的解释与引力问题联系起来以后，就更认识到其中的重要含意，这些观念成为了广义相对论理论形成的重要因素。他曾说“没有这个观念，广义相对论恐怕无法成长”，因为闵可夫斯基的四维世界“与高斯曲面理论相结合，向人们展示，存在引力场时，空间是弯曲的，欧氏几何不再成立，这表面引力场中不存在全局性的或大范围的惯性系，但对每一时空点附近的一个小的局域而言，却是闵可夫斯基平直的，欧氏几何仍成立，同时也存在与之对应的‘局域惯性系’。”这实际就是“爱因斯坦升降机”的思想。爱因斯坦明确地指出，“高斯的曲面理论与广义相对论间最重要的接触点就在于度规的性质，这些性质是建立两种理论概念的重要基础。”在 1912 年 3 月，爱因斯坦在《静引力场理论》中又指出，“等效原理只能在局域中成立”，这一系列思想表明，爱因斯坦看到了引力与时空几何结构间的联系，这就是引力场影响着时空结构，乃至决定着它的度规的规律。

在广义相对论建立过程中，更具有重要意义的事情就是爱因斯坦与他

的老同学格罗斯曼（Crossmann, M. 1878─1936）的合作。在格罗斯曼的帮助下，他学习了黎曼几何、里奇与列维─契维塔的张量分析，这一理论体系是以高斯-黎曼及克利斯托菲尔关于非欧几何流形的研究为基础发展起来的，它很快地被用到了广义相对论的引力理论之中。从 1912 年 8 月开始，爱因斯坦与格罗斯曼合作，先后发表了三篇论文，它们标志着广义相对论走向建成的重要阶段。

在 1913 年，爱因斯坦与格罗斯曼联合发表的重要论文《广义相对论纳要和引力理论》中①，他们提出了引力的度规场理论，用来描述引力场的不再是标量势，而是以 10 个引力势函数的度规张量，引力与度规的结合， 使黎曼几何获得了实在的物理意义，物理研究向着几何化迈进了决定性的一步。