庞加莱关于三体问题的开创性研究

科学认识的步伐，走出一条“之”字形路线：“混沌”让位于“规则”

——这是牛顿所建立的伟大功绩；而“规则”又产生出新形式的“混沌”。迈出这一步伐的第一人，是伟大的法国科学家庞加莱（1854～1912）。

庞加莱被誉为是“一只脚站在 19 世纪，一只脚站在 20 世纪”的跨世纪天才学者，“是最后一位传统科学家，也是第一位现代科学家”。这位蓄胡须、戴眼镜、和蔼可亲、不修边幅、带着心不在焉的糊涂外表的沉思者，却是一位科学上的集大成者，在数学、天体力学、物理学和科学哲学等领域，都做出了杰出的贡献。他通晓他的时代的全部数学，在每一个重

要分支里都做出了富有创造性的工作。这使他成为世界数学界无可争辩的领袖。正是这位科学巨擘，在确定论思想浓重笼罩着全部科学界的时候，却把智慧的眼光投向早被驱赶出科学园地的混沌深渊。他是在研究天体力学，特别是“三体问题”时发现混沌的。1887 年，瑞典国王奥斯卡二世

（1829～1907）悬赏 2500 克朗，征求天文学中一个重要问题的答案。这个问题就是“太阳系是稳定的吗？”其实这是牛顿本人早就提出来的一个老问题了。牛顿以当时已观测到的木星和土星运动的不规则性以及彗星以极扁的轨道横穿所有行星的公转轨道所可能带来的干扰作用为依据，提出了太阳系的运动可能会陷入紊乱的担心。此后不少科学家都对这个问题进行过探索。直到 1784 年，拉普拉斯根据万有引力理论证明，太阳系是一个完善的自行调节的机械机构，行星之间的相互影响和彗星等外来天体所造成的摄动，最终都会自行得到改正。所以，太阳系作为一个整体是稳定的，它将无限期地继续做着目前的周期运动。但是看来，拉普拉斯的答案并没有消除科学界的这个疑虑，没有阻止 100 年后瑞典国王的悬赏征文。

庞加莱自然向奥斯卡国王的难题发起了进攻。但是这个问题是太困难了，它涉及到了怎样研究复杂动力系统的稳定性这个深刻的问题。连庞加莱这样的天才学者，也未能彻底攻克它。但是，他却为了做这一工作而创立了一个新的数学分支——拓扑学，并大大推进了人们对这个历史难题的认识。他因此获得了这项奖金。

在太阳系中，包含着十多个比月球大的巨大天体，这是造成解题困难的根本原因。如果太阳系仅仅由太阳和地球组成，这就是一个“二体系统”，问题则很简单，牛顿早已完全解决了它们的运动问题。它们的运动是简单而规则的周期运动，太阳和地球将围绕一个公共质心、以一年为周期永远运转下去；或者稍做简化地说，地球将以太阳为一个焦点，周而复始地沿椭圆轨道绕转。然而，当增加一个相当大的天体后，这就成了一个“三体系统”，它们的运动问题就大大复杂化了，要彻底解决这个问题，几乎是不可能的。对短时间内的运动状态，可以用数值计算的方法来确定；但是由于根据牛顿力学所列出的方程组不能解析地求解，所以系统长时间的运动状态是无法确定的。为了减少解决“三体问题”的难度，庞加莱着眼于美国数学家希尔（Hill，George William 1838～1914）提出的一个极为简化的三体系统，即“希尔约化模型”。三体中有一个物体的质量非常小，它对其它两个天体不产生引力作用，就像由海王星、冥王星和一粒星际尘埃组成的一个宇宙体系一样。这两颗行星就像一个“二体系统”一样绕着它们的公共质心做周期运动；但这颗尘埃却受到两颗行星万有引力的作用，在两颗行星共同形成的旋转着的引力场中做复杂的轨道运动。这种运动不可能是周期的，也不可能是简单的，看上去简直是乱糟糟一团（图 2）。

图 2 一粒尘埃绕两颗质量相等的固定行星的复杂运行轨道

为了用几何方法直观地描绘运动的情况，可以以描述系统状态的状态参量为坐标张成的“相空间”来描绘运动过程。某一时刻系统的状态在相空间里用一个点表示；系统状态随时间的变化，即系统运动方程的解，对应于相空间的一条曲线，称为“相轨道”；如果物体做周期运动，它的相轨道就是一条闭合曲线；如果曲线不闭合，则表示物体的运动是非周期的。但是，为了确定系统的运动是不是周期性的，与其自始至终地跟踪系统运动的全过程，不如只观察系统的相轨道是否总会通过同一相点。设想通过

相空间中一点 A（初始状态）作一个横截面（图 3），如果系统的相轨道总在同一点 A 穿过截面，那么系统的运动就是周期性图 3 用庞加莱截面考察运动情况：的；相反，如果系统的相曲线 1 表示周期运动轨道每次都在不

同点穿曲线 2 为非周期运动过这个截面，它的运动就是非周期的。这个截面现被称为“庞加莱截面”，它把对连续曲线（相轨道）的研究简化为对点的集合的研究，相当于对系统的全部运动过程进行不连续的抽样检验，从而简化了检测工作。

图 3 用庞加莱截面考察运动情况：

曲线 1 表示周期运动

曲线 2 为非周期运动

庞加莱把他的截面方法应用于“希尔约化模型”的研究，以观察尘埃粒子的运动。庞加莱震惊了，他发现尘粒的运动如此复杂而且违反直觉。它的轨线多次穿过截面所形成的交点竟连缀成无穷多交点的“栅栏”（图4，现称为“同宿栅栏”）。他写道：

图 4 尘粒运动的“同宿栅栏”

当人们试图描画由这两条曲线和它们的无穷次相交（每一次相交都对应于一个双渐近解）构成的图形时，这些相交形成一种格子、丝网或无限密集的网栅结构；这两条曲线从不会自相交叉，但为了无穷多次穿过丝网的网节，它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身之上。这一图形的复杂性令人震惊，我甚至不想把它画出来。没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的概念了①。

从截面上一点出发的系统，经过一个过程后，当它再穿过截面时，却在另一点交于庞加莱截面，简直无法预言它下一次将从哪一点穿过截面；实际上系统是以无规的点的序列频频穿过庞加莱截面的。这就是混沌，庞加莱在“三体问题”中发现了混沌！这一发现表明，即使在“三体系统”，甚至是极为简化的“希尔约化模型”中，牛顿力学的确定性原则也受到了挑战，动力系统可能出现极其惊人的复杂行为。并不像人们原来认为的那样，动力系统从确定性的条件出发都可以得出确定的、可预见的结果；确定性动力学方程的某些解，出现了不可预见性，即走向混沌。

其实，在庞加莱动手解决奥斯卡国王的难题的同一年，即 1887 年，数学家布伦斯（Bruns，H.）就已证明，三体问题的 9 个自由度 18 个二阶微分方程，只有 10 个运动积分，即 3 个动量积分，3 个角动量积分，3 个关于质心运动的积分和 1 个能量积分。1890 年，庞加莱将布伦斯的结论推广到有摄动参数的情况；1892 年在他的三卷本《天体力学新方法》的第一卷第四章中，他对这个定理做出了一般表述：在通常的保守问题中，经典力学正则方程除了满足能量积分外，不满足其它任何解析、一致的积分。庞加莱的一般性结论，实质上是指出，可积系统是极少的；许多行为很规则的系统，当受到扰动后，可能出现不连续性，其参数或初始条件的微小变化，就可能引起复杂的、甚或是性质上的变化。

庞加莱的工作提出了经典力学的确定性原则的适用限度的重大问题，留下了极富启发性的论断和猜想。不过，混沌问题是太复杂了，庞加莱的时代还不具备揭示和描述混沌现象的足够的知识储备和数学工具。虽然凭着他超人的几何直觉对混沌的复杂性有所洞察，但是他并不真的是“不想” 画出他所发现的“同宿栅栏”，而是“无法”把它画出来。这是只有用电

子计算机技术才能处理的复杂几何图象。庞加莱的思想是太超前于他的时代了，所以他的发现在半个多世纪里并未受到科学界的重视；牛顿力学确定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽着混沌广阔富饶的研究领域。