经典光线光学的建立

19 世纪末到 20 世纪初，牛顿力学与麦克斯韦的电磁理论都发展到日臻完善，以麦克斯韦电磁理论为基础的波动力学逐渐趋于成熟，经典物理学已形成一套完整的理论体系，当时的绝大部分物理学家深信，物理学中的各种基本问题在原则上已都得到圆满的解决，此时，确实如薛定谔在诺贝尔奖演讲中所说，发展得最早的费马原理、莫培丢最小作用原理以及其后的哈密顿原理与费马原理之间的相似性，在相当长的时间里被人们所遗忘。70 年代以来，随着纤维光学的发展，处理介质中光的传输与发射问题时，光的波粒二象性，尤其是光的量子特性突出地表现出来，只计入光的波动性已使问题陷入了局限性。此外，在用波动方程解决具体问题时，由于情况的复杂，已经不可能找到适当的解析解，这也使人们陷入困境。因此，迫使人们在几何光学理论的发展中，另辟蹊径，从几何光学与经典力学的相似性出发，建立光的量子理论，并逐步建成经典光线力学的理论体系。经典光线力学又称为哈密顿光学，它是由 D．马库斯（D．Marcuse） 等人从几何光学与经典力学的相似性出发，根据费马原理建立起来的②

③。他们在直角坐标系中，假定光沿 z 轴方向传播，首先引入了描述光传输的线元 ds。为建立光线力学的哈密顿方程，在光线拉格朗日函数 L 的基础上，引入光线的广义动量

Px = ∂L / ∂x′和Py = ∂L / ∂y′， 其中x′ = ∂x / ∂z，y′ = ∂y / ∂z，

于是，由广义动量与广义坐标定义哈密顿函数 H（x，y，px，py）。然

后，由光线的哈密顿正则方程，找到哈密顿函数的表述形式

H = ，其中 n 为传输介质的折射率。这个函数恰与静止质量

为 m0 的单粒子的相对能量式

E = c

相似。若采用光线传播的近轴条件，即 x′＜1，y′＜1，把变化的折射率 n 表述为常量 n0 与小变量△n 两部分，即 n=n0+△n，再利用级数展开，所得到的哈密顿函数

p² + p ²

H = ^{x y} − n 2n0

又恰好与非相对论近似条件下的单粒子力学的哈密顿函数

p² + p² + p²

= x y z + V 2m

有着惊人的相似。这些结果表明，质点力学的非相对论近似理论正对

应着几何光学中的近轴理论，只是光线力学比质点力学低一维，单粒子的势能正好对应传光媒质的折射率。

接着，需要把直角坐标变换到广义坐标。虽然变换式显含时间 T，但是所对应的动能表示式并不显含时间。因此，欲建立光线力学的程函方程， 只需写出光线力学的哈密顿-雅柯比方程即可。这一工作并不困难，因为考虑到与质点力学的相似性，只需在质点力学哈密顿-雅柯比方程的基础上做类似的替换。在替换中，空间变量 z 对应于时间变量 t，并降低一维，最后得到了光线的程函方程为（■s）²=n²，它不仅与质点力学单粒子运动的规律相似，由它还能得到几何光学的全部规律。