洛仑兹关于气象预报的研究

混沌研究上的一个重大突破，是在天气预报问题的探索中取得的。1922 年，英国物理学家和心理学家理查孙（Richardson，LewisFry

1881～1953）发表了一篇题为《用数值方法进行天气预报》的文章。在文章的末尾，他提出了一个异想天开的幻想：在一个大建筑内，集聚一大批长于计算的工作者，在统一指挥下相互协调地对影响天气变化的各种数据进行计算。他估计，为了使天气预报和实际的天气变化达到同步，大约需要 64000 个熟练的计算者。他设想，在遥远的将来，有朝一日或许有可能发展出比天气变化还要快的计算手段，从而使天气预报梦想成真。真是先知之见，不到 30 年，电子计算机就出现了，并且成功地用于天气预报。在牛顿力学确定论思想的影响下，当时科学家们对天气预报普遍持有这样乐观的看法：气象系统虽然复杂异常，但仍然是遵循牛顿定律的确定性过程。在有了电子计算机这种强有力的工具之后，只要充分利用遍布全球的气象站、气象船、探空气球和气象卫星，把观测的气象数据（气压、温度、湿度、风力等）都及时准确地收集起来，根据大气的运动方程进行计算，天气变化是可以做出精确预报的。既然天文学家能够根据牛顿定律，用铅笔和计算尺计算出了太阳系的未来，预见了哈雷彗星的出没以及海王星和冥王星的存在，勾划出了人造卫星和洲际导弹的准确轨迹，那么为什么对于风和云就做不到呢？只要有一台功能高超的计算机来充任拉普拉斯设想的“智者”，天气的变化就会在人们精确的预言中。计算机之父约翰·冯·诺意曼就认为气象模拟是计算机的理想的用武之地。他甚至认为，天气状况不仅可以预报，而且是可以人工控制和改变的。美国气象学家、麻省理工学院的洛仑兹（Lorenz，Edward）最初也接受了这种观点。1960 年前后，他开始用计算机模拟天气变化。

洛仑兹有良好的数学修养，他本想成为一个数学家，只是由于第二次世界大战的爆发，他成了空军气象预报员，使他成了一位气象学家。比起庞加莱来，洛仑兹的条件是太优越了。他拥有一台“皇家马可比”计算机，它是用真空管组成的，虽然运算速度还不算快，但在当时已经是很了不起的了。洛仑兹把气候问题简化又简化，提炼出影响气候变化的少而又少的一些主要因素；然后运用牛顿的运动定律，列出了 12 个方程。这些方程分别表示着温度与压力、压力与风速之间的关系等等。他相信，运动定律为数学确定性架起了桥梁，12 个联立方程可以用数值计算方法对气象的变化做出模拟。开始时，洛仑兹让机器每分钟在打印机上打出一串数字，表示出一天的气象，包括气压的升降，风向的变化，气温的起伏等。洛仑兹把这些数据与他心目中的预测相对比，感觉到某种熟悉的东西一次一次地重复出现。气温上升又下降，风向向北又向南，气压升高又降低；如果一条曲线由高向低变化而中间没有隆起的部分，随后就会出现两个隆起部分。但是他又发现，这种重复决不是精确的，一次与一次绝不完全吻合。这个结果已经开始向洛仑兹透露着某种奥秘了。

1961 年冬季的一天，洛仑兹用他的计算机算出了一长段数据，并得出了一个天气变化的系列。为了对运算结果进行核对，又为了节省点时间，他把前一次计算的一半处得到的数据作为新的初始值输入计算机。然后他出去喝了杯咖啡。一个小时后当他又回到计算机旁的时候，一个意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一轮计算数据与上一轮的数据相差如此之大，仅仅表示几个月的两组气候数据逐渐分道扬镳，最后竟变得毫无相近之处，简直就是两种类型的气候了。开始时洛仑兹曾经想到可能是他的计算机出了故障，但很快他就悟出了真相：机器没有毛病，问题出在他输入的数字中。他的计算机的存储器里存有 6 位小数，0.506127。他为了在打印时省些地方只打出了 3 位 0.506。洛仑兹原本认为舍弃这只有千分之一大小的后几位数无关紧要；但结果却表明，小小的误差却带来了巨大的“灾难”。为了仔细看一下初始状态原本十分相同的气候流程，如何越来相差越大，洛仑兹把两次输出的变化曲线打印在两张透明片上，然后把它们重叠在一起（图 5）。一下子就清楚地看出来，开始时的两个隆峰还很好地相重叠，但到第三个和第四个隆峰时，就完全乱套了。这个结果从传统观点看来是不可理解的。

图 5 初始情况十分相近，却导致后果的巨大差异

因为按照经典决定性原则，初始数据中的小小差异只能导致结果的微小变化；一阵微风不会造成大范围的气象变化。但是洛仑兹是从事天气预报的，他对长期天气预报的失败是有深切感受的。这个离奇古怪的计算结果与他的经验和直觉是完全相符的。所以他深信他的这些方程组和计算结果揭露了气象变化的真实性质。他终于做出断言：长期天气预报是根本不可能的！他甚至有些庆幸地说：“当然，我们实在也不曾做准过气象的长期预报，而现在好了，我们找到了开脱！”“对于普通人来说，看到我们可以在几个月前就很准地预报了潮汐，便会问：为什么对大气就不能准确预报呢？确实，大气虽然是一个与潮汐不同的系统，但支配它们的定律的复杂程度却是差不多的。但我认为，任何表现出非周期性态的物理系统，都是不可预测的。”①事实正是这样，即使在今天，世界上最好的天气预报也只能一天可靠，超过两三天，就只是猜测。

洛仑兹是个穿着气象学家外衣的数学家，他很快看出了气候变化不能精确重演与长期天气预报的不可能二者之间存在着一种必然的联系。用数学语言来说，就是“非周期性”与“不可预见性”之间的联系。气象系统是不断重复但又从未真正重复的，这叫做“非周期系统”。如果气候的变化是严格的周期性的，即某一时刻各个地方的压力、温度、湿度、每一片云、每一股风都和此前某一时刻的情况完全一样，那么这一时刻以后的天气变化也将和此前那一时刻以后的天气变化完全相同，于是天气就会循环往复地永远按照这个变化顺序反复重现，精确的天气预报也就成了平淡无奇的事情了。

基于这种认识，洛仑兹就把气候问题丢在一边，专心致力于在更简单的系统中去寻找产生复杂行为的模式。他抓住了影响气候变化的重要过程，即大气的对流。受热的气体或液体会上升，这种运动就是对流。烈日烘烤着大地，使地面附近的空气受热而上升；升到高空的空气放热变冷后，又会从侧面下降。雷雨云就是通过空气的对流形成的。如果对流是平稳的，气流就以恒定的方式渐渐上升；如果对流是不平稳的，大气的运动就复杂化了，出现某种非周期性态。这与天气变化有某种类似。于是，洛仑兹就从表征着流体运动过程的纳维-斯托克斯方程组出发，经过无量纲化处理并做傅立叶展开，取头一、二项，得到傅立叶系数满足的一组常微分方程。与大气的实际对流运动相比，这组方程是大为简化了，它只是抽象地刻划了大气真实运动的基本特点，既考虑了流动的速度，又考虑了热的传输，与真实的大气运动是大体类似的。他建立的三个方程是 dx/dt=10(y-x)

dy/dt=28x- y-xz dz/dt=(8/3)z+xy

x、y、z 是三个主要变量，t 是时间，d/dt 是对时间的变化率；常数28 对应于不平稳对流刚开始后系统的状态。这就是 1963 年洛仑兹发表在

《气象科学杂志》20 卷第 2 期上的题为《确定性非周期流》中所列出的方程组。由于其中出现了 xz、xy 这些项，因而是非线性的，这意味着它们表示的关系不是简单的比例关系。一般地说，非线性方程组是不可解的，洛仑兹的方程组也是不能用解析方法求解的，唯一可靠的方法就是用数值方法计算解。用初始时刻 x、y、z 的一组数值，计算出下一个时刻它们的数值，如此不断地进行下去，直到得出某一组“最后”的数值。这个方法叫做“迭代”，即反复做同样方法的计算。用计算机进行这种“迭代”运算是很容易的。洛仑兹把 x、y、z 作为坐标画出了一个坐标空间，描绘了系统行为的相轨道，他吃惊地发现，画出的图显示出奇妙而无穷的复杂性（图6）。这是三维空间里的双重绕图，就像是有两翼翅膀的一只蝴蝶；它意味着一种新的序，轨线被限制在某个边界之内，决不会越出这个边界；但轨线决不与自身相交，在两翼上转来转去地环绕着。这表示系统的性态永远不会重复，是非周期性的，从这一点来说，它又纯粹是无序的。

图 6 洛仑兹吸引子：轨线不重复地绕两叶回转

正如这篇论文的标题所表示的，从确定性的方程和确定的初始状态

（x、y、z 的初始值）出发，经过多次迭代后，却得出了非周期性态的结果。这就是混沌！一切有关混沌的丰富内容，都包含在这幅奇妙的画图中了。

现在就可以说明什么是现代科学意义上的“混沌”概念了。1986 年在

伦敦召开的一个关于混沌问题的国际会议上，提出了下述的定义：“数学上指在确定性系统中出现的随机性态”。传统观点认为，确定性系统的性态受精确的规则支配，其行为是确定的，可以预言的；随机系统的性态是不规则的，由偶然性支配，“随机”就是“无规”。这样看来，“混沌” 就是“完全由定律支配的无定律性态”，这真是一个大自然的“悖论”。