（二）复杂世界中的规整性的发现

孤波和孤子的发现

水面受到激扰后会出现四散的水波，但波纹很快就会消失，不可能传到很远的地方。但在 1834 年 8 月，英国科学家、造船工程师约翰·罗素

（Russell，John Scott 1808～1882）却观察到一个奇怪的现象。他在勘察爱丁堡到格拉斯哥的运河河道时，看到一只运行的木船摇荡的船头挤出高约 0.3 米到 0.5 米、长约 10 米的一堆水来；当船突然停下时，这堆水竟保持着它的形状，以每小时大约 13 千米的速度往前传播。10 年后，在英国科学促进协会第 14 届会议上，他发表了一篇题为《论水波》①的论文，生动地描述了这个现象：

1834 年秋，我看到两匹骏马正沿运河拉着一只船迅速前进。突然，船停了下来，然而被船所推动的一大团水却不停止。它们堆积在船头周围激烈地扰动着，随后形成一个滚圆、光滑又轮廓分明的大水包，其高度约有1～1.5 英尺，长约 30 英尺，以每小时大约 8～9 英里的速度，沿着水面向前滚动。我骑在马上一直跟随着它，发现它的大小、形状和速度变化很缓慢，直到 1～2 英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。

罗素认识到，这决不是普通的水波。因为普通的水波是由水面的振动形成的，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在扩展一小段距离后即行消失；而他所看到的这个水团，却具有光滑规整的形状，完全在水面上移动，衰减得也很缓慢。他把这团奇特的运动着的水堆称为“孤立波” 或“孤波”。罗素还仿照运河的状况建造了一个狭长的大水槽，模拟当时的条件给水以适当的推动，果然从实验上再现了在运河上观察到的孤波。他认为这应当是流体力学方程的一个解。他批评数学家们未能从流体力学基本规律预言孤波的存在。他的这些观点在科学促进协会会议上报告后，未能说服他的同事们，争论一直持续了几十年。1895 年，两位年轻的荷兰数学家科特维格（Korteweg，D.J.）和德弗里斯（devries，G.）在研究浅水中小振幅长波运动时，考虑到可把水简化为弹性体，具有弹性特征之外，还注意到水具有非线性特征与色散作用，这些次要特性在一定条件下会形成相干结构。他们由此导出了单向运动浅水波 Kdv 方程②，由方程得出的波的表面形状与孤波的表面形状十分相似，从而给出了一个类似于罗素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公认。此后这件事又被渐渐淡忘了。

20 世纪 60 年代，电子计算机被广泛应用之后，孤波才被重新记起并被命名为“孤立子”或“孤子”。电子计算机的应用，使得科学家们敢于去探索过去用解析方法难以处理的复杂问题。首先进行这方面探索的是物理学家费米和他的两个同事。他们于 1952 年开始利用当时美国用于设计氢弹的 Maniac 计算机，对由 64 个谐振子组成、振子间存在微弱非线性相互作用的系统进行计算，试图证明统计物理学中的“能量均分定理”。但 1955 年完成的研究结果表明，开始时集中在某一振子上的能量，随着时间的进展并不均匀地分配到其它振子上，而是每经过一段“复归时间”后，能量又回到原来的振子上，这就是奇异的“复归”现象。这个现象引起了一批科学家的兴趣。

当时由于空间物理学和受控热核技术研究的发展，促使了人们对等离子体物理特性的研究。这涉及到等离子体中波的问题，推进了求解非线性

方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人经过一系列近似处理，发现费米等人的谐振子系统可以看做是 Kdv 方程的极限情况，可以用这个方程的孤波解来解释初始能量的“复归”现象。1965 年，美国科学家扎布斯基

（Zabusky，N.）和克鲁斯卡尔（Kruskal，M.D.）等在电子计算机做数值试验后意外地发现，以不同速度运动的两个孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、动量的集中形态，其波形和速度具有极大的稳定性，就像弹性粒子的碰撞过程一样，所以完全可以把孤波当作刚性粒子看待。于是他们将这种具有粒子性的孤波，即非线性方程的孤波解称为“孤子”① 。1965 年以后，人们进一步发现，除水波外，其它一些物质中也会出现孤波。在固体物理、等离子体物理、光学实验中，都发现了孤子。并且发现，除Kdv 方程外，其它一些非线性方程，如正弦-戈登方程、非线性薛定谔方程等，也有孤子解。1967 年，美国的一个研究小组 GGKM 在解 Kdv 方程时，首次发明了著名的解析方法——“逆散射变换”，并得出了 Kdv 方程 N 个孤波相互作用的精确解①。这个方法经拉克斯（Lax，P.D.）②和 AKNS 等人推广到一大批非线性演化方程中去，完善为一个较普遍的解析方法，大大推进了孤子的研究。③。上述这些研究成果，已经开始推向实际应用。例如在光纤通讯中，由于色散变形，传输信息的低强度光脉冲，不仅传输的信息量小，质量差，而且每经一段传输距离后，都要做波形整复。70 年代从理论上发现的“光学孤子”，由于在传输中具有波形不损失，不改变速度等特性，为消除前述缺点找到了有效的方法。物理学中的一些基本方程，如规范场论中的自对偶杨-米尔斯方程，引力场理论中的轴对称稳态爱因斯坦方程，以及一系列在流体力学、非线性光学、等离子物体中有重要应用的方程，都已应用孤子理论中的方法得到了许多有趣的精确解。另外，由于孤子同时具有波和粒子两重性质，引起了理论物理学家们的极大关注。他们尝试用它来描述基本粒子。但在应用中，上述的孤子定义有所扩展。但到目前为止，还有很多理论上的困难未能解决。