量子光线力学

80 年代以来，随着纤维光学的进展，在对光的传输与发射研究中，光的量子特性迫使人们不得不对光线力学以及波动光学加以改造，改造的目标就是建立一门新型的量子光线力学。理论的进展仍然是从哈密顿原理所隐含的对偶性出发的。对偶性启示人们，不仅应对光线力学中的“光线” 概念加以改造，使其具有波粒二象性，还应赋予波动力学中的“纯波动” 以粒子性特征。

在新理论建立的伊始，很自然地会涉及到普朗克常量，因为它表征着自然过程的量子属性。一个物理过程的普朗克常量是否可以被忽略，已成为该过程是否适用经典理论还是适用量子理论的重要也是唯一的标志，只有当普朗克常量η→0 时，量子力学才过渡为经典力学。因此，首先应建立一个常数 k，以 k 代表量子光线力学中的普朗克常量。当 k→0 时，量子光线力学也应过渡到由波动方程所推导出来的程函方程。根据这一相似类比，量子光线力学中的普朗克常量 k 显然应该与光在真空中的波长λ0 有

关，由此定义k = λ 0 ，当 k→0 时，λ →0，由约化波动方程，即波动方

2π ⁰

程在λ0→0 时的极限，导出的程函方程精确成立。这表明，在这一基础上建立的光线力学的量子理论可以由光线力学反推出波动方程。然而在过去，虽然费马原理可以导出光线力学的所有方程，却不能导出光的波动方程。建立了量子光线力学的“普朗克常量”k 以后，应继续使相关的物理量算符化。像质点量子力学一样，量子光线力学的问题应归结为对算符本征方程求解。被算符化的物理量有广义坐标、广义动量、哈密顿量等。首先，将相对论哈密顿量算符作用在波函数ψ上，可以得到量子光线力学的

克莱因-戈登方程，即 ∇ ²ψ +

ψ = 0 ，这个方程恰与λ0→0 时的约化波动

方程∇ ²ψ + ( 2πn) ² ψ = 0 具有相同的形式，而量子光线力学中的普朗克常量

λ0

k 又恰好可以在两个方程的比较中得出来。此时，量子力学的算符对易关系、厄米性以及期望值等都可以扩展到光线力学的量子理论之中，例如量子光线力学的本征值为光线力学物理量的可测量值，而本征函数模量的平方又是该本征值的取值几率。这样一来，量子光线力学产生了质的飞跃，它的取值将不再具有确定性，它只能取一系列可能值，每一个值都只能以一定的几率出现。此外，根据量子光线力学算符的对易关系，又能得出量子光线力学的测不准关系，

△x·ΔPx≥ 1 k = λ

2 0

/ 4π，

这一关系又恰与德国物理学家海森伯的量子力学测不准关系Δx·ΔPx

≥h/2 相对应。量子光线力学的测不准关系表明，若光线的状态为动量算符的本征态，即平面波时，对光线斜率的每一个测量结果，必将给出一个确定的动量 p 值，但当 p 值确定之后，却不能断定光线的位置。其实，这一不确定关系早已明显地表现出来，因为当平面波无限扩展到全空间时，光线的位置就变得不确定了；反之，当光线的位置受到约束而确定时，如通过狭缝或小孔，出射光线的动量或斜率将变得不确定；光线越是受到较强的约束而确定时，如狭缝成小孔的线度减小，出射光线的动量或斜率就变得越不确定，这就是波动光学中人们所熟知的衍射现象。像量子力学中测不准关系一样，在量子光线力学中，当两个相关物理量的算符相互不能对易时，都会出现类似的测不准关系，这些测不准关系也将与光的传播特征与光粒子行为的对偶性息息相关。

量子光线力学建立之后，已经直接应用到对光学仪器分辨率的讨论之中。根据经典的光线力学，每一条光线的位置都可以精确地给出，从理论上说，光学仪器可以具有无限好的分辨本领。然而根据量子光线力学的测不准关系，光线的位置与“动量”不能同时以任意精度确定。当光线位置的垂轴精度被精确地确定之后，光线的“动量”就会扩展；反之当光线的“动量”精度被精确地确定之后，光线位置的垂轴精度就不能任意，它们的关系是

Δx≥

λ0

4π∆Px

，在最精确的条件下，也只能是Δx =

λ0

4π∆Px 。

根据量子光线力学正则方程及哈密顿函数，可以进一步得出光线“动量”不确定值所对应的光线倾斜角度范围值α，再根据前式找出光学系统的分辨极限，

其结果是Δx =

λ0

4πn sinα

，在近轴条件下，Δx =

λ 0

4πnα 。

这一结果与波动光学中两相邻物点分辨率极限的瑞利判据式

Δx = 2α 极为相似，

其中系数不同，只是判据上的差异所引起。上述讨论再次表明，光线光学的量子理论可以囊括波动光学的规律，它可以不经过对光的波动性的讨论，直接得到相应的波动规律，这是经典光线光学所不能做到的。量子光线学规律的普遍性与简洁性也是经典光线力学所不能比拟的。这一学科的建立不仅促进了纤维光学与集成光学的相关理论研究，而且对进一步揭示物理学中的新概念更具有深刻的意义。