“周期倍化分叉”的发现

在动力系统演化过程中的某些关节点上，系统的定态行为可能发生性质的改变，原来的稳定定态变为不稳定定态，同时出现新的更多的定态， 这种现象叫作“分叉”（bifurcation）。分叉是由运动方程中参数的变化引起的，所以往往要用“参数空间”来描绘分叉现象。随着参数的变化， 分叉可以一次接一次地相继出现，而这种分叉序列又往往是出现混沌的先兆，最终会导致混沌。

生物群体数量（“虫口”）变化的研究以及涉及到的一类典型一维映射的分叉现象的研究，在 20 世纪 70 年代混沌学的创立和发展中曾经起到过特殊的作用。

澳大利亚昆虫学家尼科尔森（Nicholson，A.J.）曾经在一个大瓶子里用有限的蛋白质食物喂养了一瓶子绿头苍蝇，研究受到空间和食物限制的苍蝇群体数目（“蝇口”）的变化。他观察到有时绿头苍蝇可繁殖到将近一万只；过些时候又会降至几百只。蝇口繁殖过快超过容器的空间限制后数目就急剧减少，而活动空间的扩大又使蝇口快速增长；蝇口决不会单调增大或单调减少，呈现一种周期性的涨落。尼科尔森发现，这个循环周期大约是 38 天。但每个周期内蝇口数却可能出现两个峰值，而且到约 450 天后，蝇口的变化（振荡）变得极不规则。在这个实验中，蝇口数的变化包括了周期性、拟周期性和混沌。

看来，生物群体应被看做是一个动力系统，是受着某种动力驱使的。在食物受限制的地域单种生物在起起落落地繁殖着；几种生物共存的区域，各种生物在生存竞争中此长彼消；在捕食者与被食者之间，存在着双向抑制作用；在宿主群体内部，流行病在传播。⋯⋯这一切因素，都对生物群体起到约束作用，把群体限制在更合理的数目上。

生态学家们一直试图为生物群体增减寻找一个数学模型。一个合理的简化就是用离散的时间间隔去模拟虫口的变化。因为许多生物群体的数目基本上都是按照一年的时间间隔变化的，而不是连续时间的变化。更有一些昆虫，它们只在一年中的特定季节里繁殖，所以它们的一代一代之间决不会重叠。一年一年的变化，正是生态学家所要了解的全部信息。因此， 描写生物群体的方程不是连续的微分方程，而是比较简单的差分方程，这是一种迭代模型，即逐年逐年地反复用同一个函数进行数值运算，它可以反映由一个状态（数目）到另一个状态（数目）的跳跃变化。

这个差分方程应该反映出以下影响虫口增减的因素：第一，虫口的增长必定与前一年的虫口数目成正比，这是一个线性关系，比例系数 k 即群体的增长率；第二，虫口的增长又受到空间、食物、流行病等许多因素的限制，不可能无限增长。实际情况是，群体小时稳定增长，群体适中时增殖量近于零，群体暴涨时急剧下降。

一个较好的方程是由迭代逻辑斯蒂映射所得到的非线性逻辑斯蒂

（Logistic）差分方程

xt+1=kxt(1-xt)

x 表示虫口的相对数，它被定义为介于 0 和 1 之间的数，0 代表灭绝， 1 代表群体的最大虫口数；t 表示时间，它只能以整数 0，1，2，3⋯⋯跳跃；生殖增长率 k 代表了这一模型的一个十分重要的特征，表示拉伸或压缩的程度，也即非线性程度。从几何学上讲，逻辑斯蒂映射表示以不均匀的方式拉伸或压缩一个线段，然后再加以折叠。对于一个生物群体来说， 参数 k 越低，意味着群体最终将在较低的数量水平上灭绝；参数 k 的值提高以后，群体的数量也不会无限增长，这是可以理解的。但是计算表明， 在 k 值提高后，群体却不可能收敛于一个定态水平，这是令人费解的。

20 世纪 70 年代，美国普林斯顿大学的生态学家罗伯特·梅（Robert May）开始利用计算机对这种单一群体生物随时间而变化的最简单的生态学方程进行系统的研究。他对这一非线性参数试用不同的值进行迭代计算。他发现，改变的不仅仅是输出的数量，而且也改变了输出的性质；因为它不仅影响着平衡时群体的数值，而且还影响群体是否能够实现平衡。

梅编制了计算机程序，慢慢增加 k 值，对方程进行数值运算。他发现， 当 k 值小于 1 时，在 0 到 1 之间任意取初值 x0，经过若干次迭代，虫口数趋于终态 x*=0，表示生物群体将灭绝，这是可以预料的。当 1＜k＜3 时， 任取初值 x0，经过一系列迭代（演化过程）后，虫口数越来越趋于一个稳定态 x*=1-1/k；如取 k=2，则虫口数将最终稳定在 x*=0.5；若取 k=2.4， 则 x*=0.5833；若取 k=2.7，则 x*=0.6292；随着 k 值的增大，稳定平衡值也会增大，但系统的行为没有质的变化，都会达到一个稳定的定态（即虫口数达到一个稳定值）。

为了在全局上对逻辑斯蒂差分方程的解（即最终定态）做出了解，梅以参数 k 值的变化为横坐标，以群体最终虫口数为纵坐标，把二者的变化关系集拢在一张图上（图 8）。

迭代计算发现，当 k 值超过 3 之后，系统的定态失稳了，这条线分裂为两条，虫口交替振荡于两年的两点之间，x*值在两个数之间一年一换地交替跃变，这是周期 2 循环。当 k 值增大到 3.5 左右时，周期 2 吸引子也

开始失稳，出现周期 4 循环，群体的不同起始值 x*都收敛于以 4 年为周期

的循环中，每 4 年返回近原值一次。当 k 值增至 3.56 后，周期又加倍到 8； k 到 3.567 时，周期达到 16。此后将更快地出现 32、64、128⋯⋯的周期倍化序列。这就是“周欺倍化级联”；倍周期就是分叉或双分枝现象。周期分裂再分裂，这种双分枝越来越快地发生，以致到 k=3.58 左右这种分裂突然呈现崩溃之势，周期性态就变成混沌，虫口的涨落再也不会确定下来， 虫口的逐年变化完全成为随机的，全部区域染成了墨色。

图 8 倍周期分叉与混沌

这么简单的动力学系统，在非线性作用下，当 k 从 0 趋向 4 时，其动力学性态的复杂性逐步增加，即从定态变为周期性态，通过周期倍化级联而到达混沌性态。

但这还不是最终的图景。更令人惊奇的是，在这个复杂的区域中又会突然出现一个有正规周期的窗口（图 8 中狭窄的白条部分）；不过周期由偶数变为奇数。如当 k=3.835 时，出现周期 3 循环；轻微地增加 k 值，周期以新的“倍化级联”出现 6、12、24、48⋯⋯周期。当 k=3.739 时，将得到周期 5 循环，此后又是双分枝的 10、20、40⋯⋯的周期。愈来愈快的倍周期双分枝再度爆发出现混沌。

这是一个十分奇妙的图景：分叉再分叉，加快更加快，周期性态走向混沌性态，混沌区内又出现周期窗口；窗口内还有更小的窗口，出现更稠密的周期性态；放大任何窗口，都会重现整个图景的微缩复本。

图象特别明显地显示出，周期区内分叉序列中两个相邻分叉点之间的距离越来越快地缩短，而且似乎有某种规则的比例关系。美国物理学家费根鲍姆(Feigenbaum，Mitchell)敏锐地觉察到了这种几何收敛的周期僵化级联现象的规则性，对收敛的速度——标度比的值进行了深入的探讨。1975～1976 年，费根鲍姆在一次会议上听到斯梅尔关于逻辑斯蒂映射及其通过周期倍化级联走向混沌的介绍后，投入到对逻辑斯蒂映射的研究。那个时代，使用计算机是件麻烦冗长的过程，要用穿孔卡分批输入数据，几天后才能出结果。所以费根鲍姆宁肯用惠普 HP65 型可编程计算器，这是一个幸运的选择。因为计算器算得很慢，促使操作者在结果出来以前常去思考它。为了节省时间，费根鲍姆就尝试大致揣测级联中的下一个分叉点可能在哪里。不久他就发现了规律，相继的分叉点之差具有恒定的比率，前一个差值约为后一个差值的 4 倍，更精确地说，这二者的比率约为 4.669。对一个物理学家来说，恒定比率意味着标度率，表明物理学特征必在愈来愈小的标度上再现，这当然是极为重要的。费根鲍姆用这个方法对另一个映射即三角映射 x→ksin(x) 进行了计算，同样发现了周期倍化级联和几何收敛现象，更为惊人的是它的标度比值也是 4.669。

费根鲍姆利用计算机进行了更精确的计算。对于逻辑斯蒂映射，他很快得出了一个更精确的标度比值：4.6692016090；对三角映射重复计算， 到小数点后 10 位，两数完全相同。看来标度比不依赖于方程，无论逻辑斯蒂映射还是三角映射，没有什么差别。这当然不可能是巧合。费根鲍姆的发现表明，在逻辑斯蒂映射一类的非线性映射中，倍周期分叉遵循一个普适性规律：当 t→∞时，分叉间距比存在一个极限值（更精确的）δ

=4.66920160910399097⋯⋯

同时，分叉也在越来越窄的宽度上出现，这又是一种普适性规律：相邻两个分枝间的宽度按一定比率缩小，缩小因子在 t→∞时也存在极限值

α=2.5029078750958928485⋯⋯

这两个常数被称为“费根值”(Feigenvalue)。费根值的普适性也具有相对性，它只适用于具有像抛物线那样的峰的单峰映射；对于多峰或者具有扁平峰和尖峰那样的情况，标度比值将会不同；但每一类的映射，其标度比总是相同的。

费根鲍姆的发现，是一条普遍适用于一切从有序转变到混沌的动力系统在转变点上的自然规律。这种普适性不仅是结构的，而且是测度的。这一发现的意义在于，动力系统中存在着标度变换，它不仅控制着分叉花样， 而且延伸到精确数值。事物整体具有与其部分相似的结构，说明在完全确定的系统中不需要引入任何干扰，就可能出现不规则的随机运动，这是一种内禀特性。

费根鲍姆关于普适性的发现，指引人们走上混沌科学的大道，推动了非线性科学的发展。

费根鲍姆写道①：“物理学中有一条基本假定，那就是分析分析再分析，把事物的组成分离出来，直到你真正明白基本的东西在单纯的状态以如何简明的规律行事，然后，你就假定那些你还不懂的事物都是细节。⋯⋯”但是现在不行了，因为“大量系统底层有一反复运行之规律， 需要用另一种思维去认识它。⋯⋯这要抛弃纯分析的方法，不能分析分析再分析。”他接着写道：“人类要另辟新径，必须捉住标度结构这一环， 看看大家伙与小家伙的关系如何。⋯⋯这产生复杂性的、持续进行的单一过程却与大小尺寸无关，与地点无关，与时间无关，它是普适的标度变换， 它存在于大与小的自相似之中，由小到大自相似的放大比率就是一个普适的费根鲍姆常数。”

最后，他感慨万千地写道：“大地充满了美，引人入胜。看你是什么职业你就如何理解”。