第三节 招差术

招差术即高次内插法，是现代计算数学中一种常用的插值方法。在中国古代天文学中早已应用了一次内插法，隋唐时期又创立了等间距和不等间距二次内插法，用以计算日月五星的视行度数。但是太阳等天体的视运动并不是时间的二次函数，因此仅用二次内插公式推算的结果仍不够精确。唐代天文学家一行已经注意到这个问题，并列出一个包括三差的表格。由于当时数学水平所限，一行还没有能够给出正确的三次差内插公式。元代天文学家和数学家王恂、郭守敬在所编制的《授时历》中，为精确推算日月五星运行的速度和位置，根据“平、定、立”三差，创用三次差内插公式，这在数学上是重要的创新，同时也把天文历法的计算工作推进了一大步。朱世杰对于这类插值问题作了更深入的研究。他在《四元玉鉴》中成功地把高阶等差级数方面的研究成果运用于内插法，得到了一般的插值公式：

f (n) = n△ +

1 n(n = 1) △² + 1 n(n − 1)( n − 2)△ ³ +Λ ,

2! 3!

并且明确指出公式中各项系数恰好是 p=1，2，3，⋯时的三角垛求和公式。上述插值公式，在中国数学史上一般称为“招差术”，其用途并不仅仅限于内插法。招差术与垛积术是密切相关的，这两者可以互相推演。朱世杰掌握了三角垛公式，因而易于推导出一般的内插公式。相反地，利用招差术，也可解决高阶等差级数的求和问题。因此，朱世杰的垛积招差术，将宋元数学家在这方面的研究成果推进到了更加完善的地步。在欧洲，对招差术首先加以讨论的是英国数学家 J.格雷戈里（J.Gregory，1670）。此后不久，牛顿得到了现在通称牛顿插值公式的一般结果。牛顿插值公式在现代数学和天文学计算中仍然起着重要的作用。朱世杰所发现的公式与牛顿插值公式在形式上和实质上都是完全一致的，而后者要晚三百多年。招差术的创立、发展和应用是中国数学史和天文学史上具有世界意义的重大成就。