（三）假言命题

事物之间存在着一定的条件关系，即有一定的条件，就会有一定的结果。例如，“天下雨”与“地面湿”，“刻苦学习”与“攀登科学高峰”，就有着条件关系。反映事物条件关系的复合命题，就叫做“假言命题”，也叫做“条件命题”。依据所反映的条件关系不同，假言命题可分为充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题。

1. 充分条件假言命题

如果两个事物情况 p 和 q 之间存在这样一种关系：有 p 就一定有 q，那么 p 就是 q 的充分条件。例如，“天下雨”和“地面湿”就具有这样的关系， 所以，“天下雨”就是“地面湿”的充分条件。反映充分条件关系的假言命题，称之为充分条件假言命题。我们用“如果⋯⋯，那么⋯⋯”来表示充分条件的关系，于是有

如果天下雨，那么地面湿。

充分条件假言命题的逻辑形式如下： 如果 p，那么 q

我们把假言命题的前面的支命题称为前件，后面的支命题称为后件，上面的公式表明有前件 P，就一定有后件 q。

充分条件假言命题只是表明有前件 p 就一定有后件 q，而如果没有前件P，会不会有后件 q 呢？这里并没有作任何断定，也就是说，在前件 p 不存在的情况下，后件 q 可能存在，也可能不存在。可以把充分条件假言命题的前件和后件的这种逻辑关系概括为两句话：有之必然，无之未必不然。

我们用特定的符号“→”来表示“如果 p，那么 q”中的逻辑常项“如果⋯⋯，那么⋯⋯”，并称“→”为“蕴涵”，充分条件假言命题的逻辑形式又可表示为

p→q

上式读作“p 蕴涵 q”，此一类的公式被称为蕴涵式。

使用真值表的方法，可以清晰地刻画充分条件假言命题与它的支命题之间的真假关系：

上面的真值表表明，在前件 p 假的情况下，“如果 p，那么 q”就总是真的； 在后件真的情况下，“如果 P，那么 q”也总是真的；只有在前件真而后件假即 p 真 q 假的情况下，“如果 p，那么 q”才为假。这也就是说，除了前件真后件假的情况外，在其他的情况下，充分条件假言命题都是真的。

从上面的分析中，我们可以看出，假言命题并不分别地去确定前件和后件的真假，而只是确定前件和后件之间有无一定的条件关系。根据充分条件假言命题的性质，可以对下列几个命题的真假情况作出分析：

1. 如果物体摩擦，则物体会生热。

2. 如果 7 能被 4 整除，那么 5 能被 2 整除。

3. 如果地球不围绕太阳转动，那么地球依然存在。

4. 如果买奖券，那么就中奖。例（19）显然是真的，因为只要存在前件“物体摩擦”，那就一定存在后件“物体生热”，概莫例外。例（20） 的前件“7 能被 4 整除”和例（21）的前件“地球不围绕太阳转动”都是假的，因此，这两个复合命题都是真的，尽管例（20）的后件“5 能被 2 整除” 为假而例（21）的后件“地球存在”为真。在例（22）中，由于存在有人买了奖券但没有中奖的情况，即存在前件真而后件假的情况，所以该充分条件假言命题为假。

在自然语言中，除“如果⋯⋯，那么⋯⋯”和“如果⋯⋯，则⋯⋯”外， “若⋯⋯，则⋯⋯”，“只要⋯⋯，就⋯⋯”，“既然⋯⋯，那就⋯⋯”等联接词也可用来表示充分条件的关系。

1. 必要条件假言命题

如果两个事物情况 p 和 q 之间存在这样一种逻辑关系：无 p 就一定无 q， 那么 P 就是 q 的必要条件。例如，”年满十八岁”和“有选举权”就具有这样的关系，所以，”年满十八岁”就是“有选举权”的必要条件。反映必要条件关系的假言命题，称之为必要条件假言命题。我们用“只有⋯⋯，才⋯⋯” 来表示必要条件关系，于是有

只有年满十八岁，才有选举权。必要条件假言命题的逻辑形式为

只有 p，才 q

上式的逻辑意义是，没有前件 P，就一定没有后件 q。至于有了前件 P，会不会有后件 q 呢？该式没有作任何断定，也就是说，有了前件 p，可能有后件 q， 也可能没有后件小可以把必要条件假言命题这种前件和后件之间的逻辑关系概括为两句话：无之必不然，有之未必然。

逻辑上没有制定特殊的符号来表示必要条件假言命题中的逻辑常项“只有⋯⋯，才⋯⋯”，因为它可以通过其他的逻辑常项来表示，这一点我们在后面就会看到。用真值表来刻画必要条件假言命题与其支命题之间的真假关

系：

从上面的真值表看出，在前件 p 真的情况下，“只有 p，才 q”就总是真的； 在后件 q 假的情况下，“只有 p，才 q”也总是真的；只有在前件假而后件真即 p 假 q 真的情况下，“只有 p，才 q”为假。这也就是说，除了前件假后件真的情况外，在其他的情况下，必要条件假言命题都是真的。

根据必要条件假言命题的性质，可以对以下几个命题的真假情况作出分析：

1. 只有一个数能被 2 整除，它才能被 4 整除。

2. 只有资本主义国家，才能实行市场经济。对例（23）来说，由于不可能出现一个数不能被 2 整除而能被 4 整除的情况，即不可能出现前件假而后件真的情况，所以该必要条件假言命题为真。在例（24）中，由于出现了前件假而后件真的情况，例如中国不是资本主义国家但也能实行市场经济，所以，该必要条件假言命题为假。

在自然语言中，还常用“除非⋯⋯，否则⋯⋯”和“不⋯⋯，不⋯⋯” 来表示必要条件的关系。例如：

1. 除非工人阶级领导，否则中国革命不会胜利。

2. 不入虎穴，焉得虎子。例（25）是说，没有工人阶级的领导，就不会有中国革命的胜利，因此“工人阶级的领导”就是“中国革命胜利”的必要条件。例（26）是说，没有人虎穴的条件，就没有得虎子的结果，因此“入虎穴”就是“得虎子”的必要条件。

可以对例（25）和例（26）作进一步的分析，因为这二个复合命题与下面的二个复合命题

1. 如果没有工人阶级的领导，那么中国革命就不会胜利。

2. 如果不入虎穴，那么就不得虎子。在意义上是完全相同的，因此必要条件假言命题也就可以用充分条件假言命题的形式来表达。于是，我们得到下面一个关系式：

“只有 p，才 q”等同于“如果非 p，那么非 q”。

此外，必要条件和充分条件还可以相互转化，二者的转化关系是：如果前件是后件的充分条件，那么后件就是前件的必要条件；如果前件是后件的必要条件，那么后件就是前件的充分条件。例如，在例（23）中，“能被 2

整除”是“能被 4 整除”的必要条件，那么“能被 4 整除”就是“能被 2 整除”的充分条件，因此，该假言命题与下面的假言命题是等同的：

1. 如果一个数能被 4 整除，那么它就能被 2 整除。

通过对充分条件和必要条件的关系的分析，可以得到下面二个关系式： “如果 p，那么 q”等同于“只有 q，才 p”

“只有 p，才 q”等同于“如果 q，那么 p”

1. 充分必要条件假言命题

如果两个事物情况 p 和 p 既是 q 的充分条件，即有 p 就有 q，又是 q 的必要条件，即无 p 就无 q，那么 p 就是 q 的充分必要条件。例如，“一个数是偶数”与“该数能被 2 整除”就具有这样的关系，所以，“一个数是偶数”

就是“该数能被 2 整除”的充分必要条件。反映充分必要条件关系的复合命题，就是充分必要条件假言命题。

充分必要条件假言命题的逻辑形式是当且仅当 p，才 q

上面形式中的“当且仅当⋯⋯，才⋯⋯”，在自然语言中是很少出现的。自然语言表示充分必要条件大都使用表示充分条件的联接词。例如：

1. 如果一个数是偶数，那么它能被 2 整除。

从语词形式上看，这是一个充分条件假言命题，但稍加分析，就可以看出，这实质上表达的是充分必要条件的关系。对自然语言所不可避免的歧义性，我们要注意加以分析。

根据充分条件和必要条件的相互转化的关系，p 是 q 的充分必要条件，q 也就是 p 的充分必要条件。这是因为，p 是 q 的充分条件，则 q 就是 p 的必要条件；p 是 q 的必要条件，则 q 就是 p 的充分条件。

用特定的符号“←→”来代表“当且仅当⋯⋯，才⋯⋯”，并称之为“等值”，因此，充分必要条件假言命题“当且仅当 p，才 q”又可表示为

p←→q

上式读作“p 等值 q”，此类的公式称为“等值式”。

使用真值表的方法来刻画充分必要条件假言命题与它的支命题之间的真假关系：

从表中我们可以看出，在二个支命题 p 和 q 都真或 p 和 q 都假的情况下，“当且仅当 p，才 q”为真；而在 p 真 q 假或 p 假 q 真的情况下，“当且仅当 P， 才 q”为假。

根据充分必要条件假言命题的性质，可以对以下复合命题的真假情况作出分析：

1. 当且仅当一个三角形是等角的，它才是等边的。

2. 当且仅当一个物体是金属时，它才能导电。例（31）是真的，因为一个三角形是等角的就一定是等边的；反过来，一个三角形是等边的就一定是等角的，“等角”和“等边”互为充分必要条件。例（32）是假的，因为存在着不是金属而能导电的物体，也就是，说存在着一个支命题真而另一支命题假的情况。

1. 负命题

当对一个命题进行否定时，就会得到一个负命题。例如，对“所有的人

都是科学家”进行否定，就得到“并非所有的人都是科学家”，这就是一个负命题。

负命题的逻辑形式是： 并非 p

上式中的 p，就是所要否定的命题。由于对命题 p 作了否定，因此，非 p 与 p 的真值就完全相反：p 真，则非 p 假；P 假，则非 p 真。例如：

1. 并非所有的人都是科学家。

2. 并非有的金属是导电的。

在例（33）中，由于“所有的人都是科学家”为假，所以，该负命题为真。在例（34）中，由于“有的金属是导电的”为真，所以，该负命题为假。

用一个特定的符号“～”来代表负命题中的逻辑常项“并非⋯⋯”，负命题又可表示为

～p

上式读作“非 p”。

用真值表的方法来刻画负命题和它的支命题之间的真假关系：

负命题的联接词“并非”不仅可以置于简单命题的前面，也可以置于复合命题的前面。例如：

1. 并非（如果买奖券，那么就中奖）

2. 并非（当且仅当一个数是偶数，它才能被 2 整除）对例（35）来说，由于否定的是一个假的充分条件假言命题，所以该负命题为真。对例（36） 来说，由于否定的是一个真的充分必要条件假言命题，所以该负命题为假。

一般来说，否定一个复合命题，可以得到一个前面没有否定号而又与其真假情况完全相同的命题。关于这一点，我们在下面的章节将加以说明。