四元术

随着数学的发展，只能表示一元方程的天元术，已不足以应付复杂问题的求解，中国古代数学家们在掌握了天元术之后，便迅速地把它扩充到多元高次方程组的解法。因为未知数可以有 4 个之多，所以就把扩充后的天元术称之为“四元术”。

所谓四元术，就是用天、地、人、物这 4 个元来表示 4 个未知数，即相当于现在的 x、y、z、u。在用算筹摆列时，规定太（即常数项）放在中央， 天、地、人、物 4 元分别放在太的下、左、右、上方，它们的幂从太往远处递增，例如，太的下面是天的一次幂，接着往下是二次、三次等等，“天” 或“天 2”’同行都含有“天”或“天 2 ”，同样地，“地”或“地 2”’ 的同列都含有“地”或“地 2”，因此，“天”地 n”，就位于“天 m”行与“地 n”列的交点栏内。为方便起见，可参见下表：

如图①所示的位置排列，用上表，很容易就知道是方程 3x 十 2y＋u—4=0

（1）

在方程-x＋3y＋4u 十 3xy2＋xyz=0 里，xyz 项（即天地人项）在表中无可安排位置的，只得把它的系数插在夹缝里如图②所示。

四元术是元代数学家朱世杰于 1303 年首先创立的，他在所著的《四元玉鉴》中列有一些多元（二元、三元和四元）的方程，并根据方程的具体情况， 提出各种消去法，使最后余下一个只含一个未知数的高次方程，从而求得其解。对于四元术的创立，朱世杰的朋友祖颐曾这样赞扬说：“吾友燕山朱汉卿（朱世杰字汉卿）先生演数有年，探三才之迹，索《九章》之隐，按天、地、人、物立成四元。”可见四元术的创立，在当时就受到学者们的极大重视。

四元术不仅是中国古代数学史上最光辉的篇章，同时也写下了中世纪世界数学史上最杰出的一页，阿拉伯的代数学也无法与之媲美，而西方更是远远落在后面。他们长期把不同的未知数用同一个符号来表示，以致含混不清， 直到 1559 年法国数学家彪特才开始用不同的字母 A、B、C⋯⋯表示不同的未知数，1779 年数学家培根才在他的《代数方程的一般理论》一书中给出了解法，这要比朱世杰晚了近 500 年。

（赵澄秋）