盈不足术

《唐阙史》记载着这样一个故事：唐代尚书杨损办事非常公正。一次， 他的部下向他汇报了一件事，有两名各方面条件都差不多的办事员应该提了，可是名额只有一个，不知该提升谁好，杨损仔细考虑了一番说：一个办事员工作做得好，要看他写、算的水平怎样。我出一道题，他们谁先交出正确答案就晋升谁这道题是：有人在林中散步，无意中听到几个盗贼在分赃偷来的布匹。他们说，如果每人分 6 匹就剩 5 匹；如果每人分 7 匹，就会差 8 匹。试问一共有几个盗贼？布匹总数又是多少？两个办事员在大厅的石阶上用算筹进行计算、不一会；其中一个得出了正确答案，他被提升了。杨损的部下们非常佩服杨损，赞扬他处理官员晋升的事十分得当。

杨损考部下的这类数学问题，在成书于 2000 多年前的《九章算术》中就已提出，并专门列为一章，即第七章“盈不足”，给出了完整的解法——“盈不足术”，也就是双假设法。它是一种通过假设和检验，列出比率关系，然后求解的方法。例如，杨损提的问题用“盈不足术”来表述，为：今有布， 人得 x1 ，盈 y1；人得 X2 ，不足 y2。问人、布各多少？由盈不足术列成公式，用现代数学的公式表示，即

x = x1 y1 + x 2 y1

y1 + y 2

式中X0 为人平均所得数。则本题解得

x = 83

⁰ 13

经检验，可知人为 13 人，布为 83 匹

上述问题在现代数学中可以用二元一次方程组来求解。设盗贼人数为x，布匹总数为 y，则得二元一次方程组

y = 6x十5

y = 7x - 8

解方程组得 x= 13，即盗贼人数是 13 人； y= 83，即市匹总数是 83 匹。综上所述，中国在 2000 多年以前，就已发明了二元一次方程的完整解

法。盈不足术是中国古代独立创造的解决数学问题的一种杰出的算法。中国的盈不足术大约在 9 世纪传到了阿拉伯，13 世纪意大利数学家把它介绍到欧洲，并广为传播。在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，盈不足术被称作“中国算法”，它对世界数学的发展做出了贡献。

（赵澄秋）