级数与垛积术

所谓垛积术就是高阶等差级数的求和的问题。中国古代很早就注意级数问题，并不断有人进行研究，形成了自成体系的求解方法。

在著名古算书《九章算术》中，有这样一个问题：

“问：今有金箠(音 Chuí,拐杖），长五尺。斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何？

答曰：末一尺，重二斤；次一尺，重二斤八两；次一尺，重三斤；次一尺，重三斤八两；次一尺，重四斤。”

这是一个关于等差级数的问题，反映了在西汉之前，中国已经提出这类问题，并有了相应的解题方法。在 5 世纪成书的《张邱建算经》中，更把解等差级数问题的方法加以总结，给出了公式。用现代数学的表达方式，这个公式为：

宋元时期，关于等差级数求和问题的研究被推进到一个新的阶段，创立了高阶等差级数的求和公式，取得了辉煌的成就。所谓高阶等差级数，指的是这样一种级数，它的逐项差数并不相等，但它的 逐项差数的差数却是相等的。

首先对高阶等差级数进行研究的是化宋科学家沈括，他创立了关于高阶等差级数的求和公式。用这一公式，可以求解任何堆积物体的体积问题。

南宋的数学家杨辉在沈括的基础上，对高阶等差级数的求和问题作了进一步的研究，得出了求解方锥、方垛、三角垛等的求和公式。

到了元代，郭守敬在编制《授时历》时，创立了招差法，即利用高阶等差级数方面的知识来解决天文计算中的高次内插问题。招差法是中国数学史上具有世界意义的伟大成就。《授时历》中，用招差法来推算太阳逐日运行的速度以及它在黄道上的经度，还用来推算月球在近点月逐日运行的速度和位置，大大提高了历法的精确度。

元末的数学家朱世杰则集前人关于等差级数求和研究之大成，并把其推广到更为复杂的求和问题，给出了较为系统和普遍的解法。他创立的招差术， 已经有可能正确地写出任意高次的招差公式来。在欧洲，首先对招差术加以说明的，是格列高里在 1670 年提出的。关于招差术的普遍公式，是牛顿于

1676 年和 1678 年先后提出的。单以朱世杰创立的招差术和欧洲数学家提出

的招差术相比，中国的数学家也领先了 300 多年。

（赵澄秋）