天元术

一元二次方程：3600x2 十 120x 十 1=0 是我们非常熟悉的，而对于图① 表示什么？我们就不太清楚了，其实，它们是一回事它是中国古代 360OX2 ＋ 120x＋1=0

用算筹的排列方法。

列方程的方法是我们熟知的。即利用问题中给出的已知条件和已知条件与未知条件之间的关系加以分析，布列出方程。当然，在列方程时，通常都是设未知条件为 x，而这个步骤在中国古代称做立“天元一”。天元术，实际就是列方程的方法。

早在 7 世纪的唐代初期，数学家王孝通从生产实践中发现三次方程时起，天元术可能就已经创立。最初的著作都已失传，作者的姓名和年代都不能详考。在流传至今的数学著作中，最早对天元术进行系统叙述的，是 13 世纪杰出的数学家李冶。他在其著作《测圆海镜》（1248 年）和《益古演段》

（1259 年）二书中，对此都作了系统的记载。李冶把前人列方程的方法加以分析比较，经过总结，加以简化，使天元术向前发展了一步，他的天元术和现代列方程的方法极为类似。它首先是“立天元一为某某”，即相当于现代列方程的“设 x 为某某’（其次，再根据问题给出的条件，列出两个相等的代数式，将二者相减，便可得出一个一端为零的方程。

在欧洲，16 世纪以前的代数式还是用文字写的。那时，要说明一个数学问题、解一道方程，简直像写一段文章。16 世纪以后，半符号代数才开始逐渐出现，而中国的半符号代数——一天元术，要比欧洲早 300 多年。

本文的开头，我们已初步接触到天元术的表示法，下面我们进一步看看这一问题。

图②图③图④

甲型第二式乙型第一式乙型第二式

图②、③、④与图①一样，同样都表示 3600x 2 ＋120x ＋1= 0，只是

排列方法不同而已。在这 4 种排列法中，每个方程中只有一个“元”字，或只有一个“太”字。“元”字这一行表示一次项系数，“太”字这一行表示常数项，这样各方程中的各项就可以按顺序类推。

从这几种排列法中还可看到，甲型排法太在元下，实际是现在的降幂排列，而乙型排法太在元上，实际是现在的升幂排列。如果用甲型排法，则太以下各行可依次表示 x-1，x-2，x-3 项等等的系数。如图⑤，则表示方程

4X2＋x 十 136 十 248x-2= O

李冶在天元术的研究中，还有如下的创造：

对负数，是在最后一位数字上加斜画“＼”表示，如图⑥就表示方程 4X2 一 X＋136—248X-2= 0
对小数，把各项的位数上下对齐，小数部分可立即看出，如图⑦则表示 1、96x2 十 84X 十 900= 0
对于纯小数，是在缺位上加“0”，加在左侧，这比西方公认的十进小数发明者之一的比利时的斯台文还早 300 多年。
另外，前人研究高次方程时，常数项只限于负数，李冶又把此推广到常数项为正数的情况，从此对于方程的各项系数和常数项就没有什么限制。这比欧洲在 16 世纪下半期才不限制各项的系数和常数项又早了 300 多年。

(赵澄秋)