二、层次分析法

过去说研究自然或社会现象主要有机理分析和统计分析两种方法。前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量观测数据寻求统计规律。近年来发展起来的第三种方法称系统分析。层次分析（AHP）法就是系统分析的数学工具之一，它把人的思维过程层次化、数量化，并用数学方法为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。事实上这是一种定性和定量分析相结合的方法。在模型涉及大量相互关联、相互制约的复杂因素的情况下，各因素对问题的分析有着不同的重要性，决定它们对目标重要性的序列，对建立模型十分重要。AHP 方法把相互关联的要素按隶属关系分为若干层次，请有经验的专家对各层次各因素的相对重要性给出定量指标，利用数学方法综合专家意见给出各层次各要素的相对重要性权值，作为综合分析的基础。例如要比较 n 个因素 y={y1，y2，⋯，yn}对目标 Z 的影响，确定它们在 Z 中的比重，每次取两个因素 yi 和 yj，用 aij 表示 yi 与 yj 对 Z 的影响之比，全部比较结果可用矩阵 A=（aij）n×n 表示，A 叫成对比矩阵，它应满足：aij＞0，aji=1/aij（i，j=1，2，⋯，n）（4－2）使（4－ 2）式成立的矩阵称互反阵，不难看出必有 aij=1。

在旅游问题中，假设某人考虑 5 个因素：费用 y1、景色 y2，居住条件 y3、饮食条件 y4、旅途条件 y5。他用成对比较法得到的正互反阵是：

y1 y2 y 3 y4 y5

y1 1 2 7 5 5 

y  

2 1 / 2 1 4 3 3 

A = 3  

(4 − 3)

y 1 / 7 1 / 4 4 1 / 2 1 / 3

4 1 / 5 1 / 3 2 1 1 

y5  

1 / 5 1 / 3 3 1 1 

在（4－3）式中 a12=2 表示 y1 与景色 y2 对选择旅游点（目标 Z）的重要性之比为 2∶1；a13=7，表示费用 y1 与居住条件 y3 之比为 7∶1；a23=4，则表示景色 y2 与居住条件 y3 之比为 4∶1。如果 A 不是一致阵（即 A12、A23 不等于 A13），需求正互反阵最大特征值对应的特征向量，作为权向量。