一、整体内插法

趋势面分析：多项式回归分析是描述长距离渐变特征的最简单方法。多项式回归的基本思想是用多项式表示的线或面按最小二乘法原理对数据点进行拟合，线或面多项式的选择取决于数据是一维还是二维。

地理调查中特征值 z 是 x 的线性函数如图 4—5。其数学表达式为： z=b0+b1x(4-8)

式中 b0，b1 为多项式系数。

许多情况下 z 不是 x 的线性函数，而是以更为复杂的方式变化，如图 4

－6 所示。在这种情况下需用二次多项式：

z = b 0 + b1 x1 + b x ²

(4 - 9）

增加（4－9）式中的项数，即用更高次的多项式可以拟合更复杂的曲线。

二次趋势面的数学模型为

z=b0+b1x1+b2y+b3x3+b4xy+b5y² （4－10）三次趋势面的数学模型为：

z=b0+b1x1+b2y+b3x2+b4xy+b5y²+b6x³+b7x²y+b8xy²+b9y³ （4-11）

趋势面分析的优点是：它是一种极易理解的技术，至少在计算方法上是易于理解的。另外，大多数数据特征可以用低次多项式来模拟。但要给复杂的高次多项式赋予物理意义就困难了。

趋势面是平滑函数，很难正好通过原始数据点，除非数据点少而且曲面的次数高才能使曲面正好通过原始数据点。实际上趋势面分析最有成效的应用之一是揭示研究区域中不同于总趋势的最大偏离部分。因此趋势面分析的主要用途是：使某种局部内插方法对区域进行内插之前，从数据中去掉一些宏观地物特征，而不把它直接用于区域内插。

趋势面拟合程度的检验，同多元回归分析一样可用 F 分布进行检验，其检验统计量为：

F = U / P

Q / (n - p - 1)

(4 - 12)

式中 U 为回归平方和，Q 为残差平方和（剩余平方和），p 为多项式的项数（但不包括常数项 b0），n 为使用资料的数目。当 F＞Fa 时，则趋势面拟合显著，否则不显著。

傅里叶级数：傅里叶级数用正弦和余弦的线性组合来模拟观测值的变化，亦即描述一维或二维变化情况。一维傅里叶级数已广泛用于时间级数分析和气象变化的应用研究。二维傅里叶级数在研究沉积岩的地质构造中用得较多。实际上，傅里叶级数在结构分析中的应用比制图应用多。在一般情况下，除溪流、沙丘等明显的周期性特征外，地球表面的其它特征都很复杂，且难以用周期函数来严格地表示它们的变化。