牛顿第二定律的应用

牛顿第二定律反映了力、质量、加速度之间的关系。已知物体的受力情况，运用牛顿第二定律可以求出加速度，从而知道物体的运动情况； 反过来，已知物体的运动情况，求出加速度并运用牛顿第二定律便能推知物体受力情况。

[例题 4．9] 水平桌面上的木块，质量为 2kg，它与桌面间的摩擦系数为 0.2，在水平拉力作用下，产生的加速度是 3m/s2。求水平作用力。

（g 取 10m/s2）

〔分析〕作出木块的受力图（图 4-18）。木块共受四个力的作用： 重力 G、桌面的支持力 N、水平拉力 F、桌面的摩擦力 f。由于木块在竖

直方向没有加速度，可以推知，支持力 N 与重力 G 是一对平衡力。又根据力的合成法则，可知在水平方向上的合力 F 合=F－f。最后根据牛顿第

二定律可求得水平拉力 F。

解 已知 m=2kg，μ=0.2，a=3m/s2，由于 N=G=mg，因此摩擦力f=μN=μmg。

木块受到的合力

F 合=F－f=F－μmg。

根据牛顿第二定律可以列出

F－μmg=ma。

因此，水平作用力

F=μmg＋ma=m（μg+a）

= 2×（0.2×10＋3）N=10N。

[例题 4．10] 用手提着下挂质量为 2kg 钩码的弹簧秤[图 4-19（a）]。求下列各种情况下弹簧秤的读数。（g 取 10m/s2）

  1. 手提弹簧秤竖直向上作匀速运动。

  2. 手提弹簧秤以 2m/s2 的加速度竖直向上作匀加速运动。

  3. 手提弹簧秤以 2m/s2 的加速度竖直向下作匀加速运动。

〔分析〕首先确定以钩码为研究对象，通过受力分析可知，钩码同时受到竖直向下的重力 G 和弹簧秤对它的竖直向上的拉力 T 的作用，而弹簧秤的读数则是指钩码对弹簧秤的拉力 T′。T 和 T′是一对作用力和反作用力，所以 T=T′，方向相反[图 4-19（b）]。

解 （1）当弹簧秤竖直向上作匀速运动时，钩码处于平衡状态，加速度 a=0，所受的合力 F 合=0。即

T=G=mg。

所以，T′=T=mg=20N。

弹簧秤的读数为 20N，等于钩码所受的重力。

  1. 当弹簧秤竖直向上作匀加速运动时，由于加速度方向竖直向上[图 4-20（a）]，钩码所受的合力 F 合=T－G，即

T－mg=ma。

所以 T=m（g＋a）=2×（10＋2）N=24N。弹簧秤的读数

T′=T=24N。

这种情况下弹簧秤的读数大于钩码受到的重力，这种现象叫做超重现象。当火箭竖直向上发射作加速运动时，在火箭密封舱内的宇航员就处于超重状态，因而宇航员必须事先经过训练才能适应。

  1. 当弹簧秤竖直向下作匀加速运动时，由于加速度方向竖直向下[图 4-20（b）]，砝码所受的合力 F 合=G－T，即

mg－T=ma， T′=m（g−a）=2×（10−2）N=16N，

所以弹簧秤的读数 T′=T=16N。

这种情况下弹簧秤的读数小于钩码受到的重力，这种现象叫做失重现象。跳伞运动员在跳离机舱后的一段时间内，就处于这种失重状态。

【讨论】

  1. 人站在电梯中，当电梯突然加速上升或突然加速下降时，人对地板的压力有什么变化？

  2. 如果把挂着钩码的弹簧秤从手中放开，使钩码和弹簧秤一起自由下落。这时弹簧秤的读数是多少（图 4-21）？

  3. 超重和失重现象是否说明地球作用于钩码的重力发生了变化？ [例题 4．11] 质量为 m 的木箱，放在水平光滑地面上，用与水平成 θ角的力 F 拉木箱，使木箱沿地面作匀加速运动[图 4-22（a）]。求木箱

运动的加速度和木箱对地面的压力。

〔分析〕木箱在拉力 F 作用下沿水平方向作匀加速运动，因此木箱所受合力是沿水平方向的。力 F 对木箱起到两个作用效果：一个是对木

箱有向上提的作用，从而减小木箱对地面的压力；另一个是对木箱有向前拉的作用，使木箱获得加速度。因此可以用这两个方向上的力来等效替代力 F。这样可把木箱的受力情况用图 4-22（b）表示，只要求出水平方向的合力，就能求出木箱的加速度。

解 将力 F 分解成 Fx 和 Fy，即

Fx=Fcosθ，Fy=Fsinθ。

从图 4-22（b）上可以看出木箱所受的合力为 Fx。在水平方向上 Fx=ma。

在竖直方向上 N＋Fy=mg。

所以木箱运动的加速度

木箱对地面的压力

a = Fx

m

= Fcosθ 。

m

N′=N=mg－Fy=mg－Fsinθ。

从上面的例题可以看出，物体对地面的压力 N 不一定等于物体的重力。

【讨论】

  1. 如果地面与木箱间的摩擦系数为μ，则此时木箱的加速度应如何计算？

  2. 如果地面与木箱间的摩擦系数为μ，且将拉力改为斜向下的推力，则木箱的加速度又为多少？

[例题 4．12] 质量为 3000kg 的汽车，以 10m/s 的初速驶上倾角 a 为 8°、长度为 150m 的斜坡，到坡顶时速度为 5m/s，汽车受到的阻力是车重的 0.05 倍。求汽车的牵引力。（g 取 10m/s2，sin8°=0.14）

〔分析〕研究对象是汽车。汽车受到四个力的作用：重力 G、斜坡支持力 N、牵引力 F、阻力 f，受力图如 4-23 所示。垂直斜坡方向上汽车没有加速度，汽车沿斜坡向上作匀减速运动。

解 由于 m=3000kg，υ0=10m/s，υt=5m/s，s=150m，θ=30°。因此， 汽车的加速度

υ2 − υ2

a = t 0 =

2s

52 − 102

2 × 150

m / s2

= −0.25m / s2 。

负号表示加速度的方向和运动方向相反，因此合力方向也与运动方向相反。

在运用牛顿第二定律列式时，为了方便，通常总是取物体的加速度方向为正方向，因此，加速度总是取正值。

根据牛顿第二定律可以列出

mgsinα＋f−F=ma。因此，汽车牵引力的大小

F=mgsina＋f−ma

=（3000×10×0.14＋0.05×3000×10-3000×0.25）N

=4.95×103N。

例题 4．8 和例题 4．11 的解题过程中，都用到了力的分解。但可以看出，用到力的分解最终的目的还是为了更方便地求出作用在物体上所有力的合力。在例题 4．8 中，物体重力的一个分力 mgsinθ，实际上就是作用在物体上重力和弹力的合力。例题 4．11 中拉力的一个分力 Fcos θ，也就是作用在木箱上重力、弹力及拉力这三个力的合力。

应用牛顿第二定律解题的一般步骤：首先确定作为研究对象的物 体，然后分析它的受力情况，如果已知物体的运动情况，通常可将不在加速度方向的力，沿着加速度方向和垂直于加速度方向分解，求出加速度方向上的合力，然后应用牛顿第二定律和运动学公式，求出未知量。