向心加速度

在匀速圆周运动中，物体运动速度的大小保持不变，那么作匀速圆周运动的物体有没有加速度呢？匀速圆周运动速度的大小虽然保持不 变，方向却时刻在改变，因此作匀速圆周运动的物体具有加速度。

从牛顿第二定律可知，物体的加速度是由外力引起的。由于匀速圆周运动物体需要向心力的作用，这就表明匀速圆周运动物体的加速度是在向心力的方向上。通常把这个加速度叫做向心加速度。向心加速度的方向始终与速度的方向垂直，它只描述物体运动速度方向变化的快慢程度，并不描述运动速度大小的变化快慢程度。

向心加速度可从向心力公式推出，因为向心力

所以向心加速度

F = mω²

r， 或

2

F = m ，

r

a = F = ω² r， 或 a = F = υ ，

m m r

式中ω是角速度，v 是线速度，r 是圆周半径。因此上式表明：匀速圆周运动的向心加速度在半径一定时，与它的角速度平方成正比，与它的线速度的平方成正比。在角速度一定时，向心加速度与圆周半径成正比； 在线速度一定时，与圆周半径成反比。

[例题 6．3] 旋转餐厅的运动周期是 105min，坐在离转轴 2.4m 处顾客的线速度和角速度各是多大？他随餐椅一起作匀速圆周运动的向心加速度又是多大？

解 旋转餐厅的周期 T=105min，顾客作匀速圆周运动的半径 r=2.4m，

则顾客运动的速度和向心加速度为

υ = 2πr

T

= 2 × 3.14 × 2.4 m / s = 2.4 × 10⁻³ m / s， 105 × 60

ω = υ = 2.4 × 10⁻³

= × −3

r 2.4

rad / s

1.0 10

rad / s，

a = ω ²r = (1.0 × 10⁻³) ² × 2.4m / s² = 2.4 × 10⁻⁶ m / s²。

【讨论】

如果这位顾客的质量是 50kg，需要的向心力多大？顾客在旋转餐厅里能坐在餐椅上观光、就餐而不会往边缘的窗台移动，你能解释这个现象吗？

[例题 6．4] 水平转台上有两物体 A、B 随转台转动。它们到转轴的距离之比为 5∶2，求 A、B 的向心加速度之比。

解 A、B 由于随转台一起转动，具有相同的角速度ω，因此它们的向心加速度之比

a ω ²r r 5

A = A = A = 。

a ω² r r 2

B

[例题 6．5] 要使一个质量为 3kg 的物体在半径为 2m 的圆周上以4m/s 的速度作匀速圆周运动。求物体所需的向心力和向心加速度的大小。

解 已知 m=3kg，r=2m，v=4m/s，物体所需的向心力和向心加速度为

2

F = m

r

= 3 × 4

2

N = 24N，

υ2 42 2 2

a = =

r

或者用牛顿第二定律求出

m / s

2

= 8m / s 。

【讨论】

a = F m

= 24 m / s² = 8m / s² 。

3

如果物体所受的向心力突然消失，物体将如何运动？如果物体所受的合外力大于或小于它所需的向心力时，物体又将如何运动？