物体动能变化的量度——功

从上节我们已经知道，物体动能的获得是外力对物体做功的结果， 现在我们进一步来研究两者之间的关系。

设有一原来静止的木块，它的质量为 m，受到恒力 F 的作用，发生了一段位移 s 后，木块得到的速度为 v。推力对木块所做的功

W=Fs，

υ2

因为 F = ma， s = 2a ，

2

所以 W = Fs = ma

2a

= 1 mυ2。

2

在物理学中，我们把 1 mυ2，即物体的质量与速度平方的乘积的

2

一半叫做物体的动能，用 Ek 表示，即

E = 1 mυ 2 。k 2

动能只有大小，没有方向，是标量。功也是标量，在国际单位制中， 功的单位名称是焦〔耳〕，单位符号是 J。因为

1kg·m2/s2=1kg·m/s2·m=1N·m=1J， 所以动能与功的单位是相同的。

[例题 7．1] 我国发射的第一颗人造卫星的质量是 173kg，在轨道上运行速度为 7.2km/s，求卫星的动能。

解 由于 m=173kg，v=7.2km/s=7200m/s。卫星的动能

Ek =

1 mυ2

2

= 1 ×173×72002 J

2

= 4.48×109 J。

[例题 7．2] 物体从高处自由落下，求物体在第 1s 末与第 2s 末动能之比。

解 设物体在第 1s 末与第 2s 末时的动能分别为 Ek1 与 Ek2。

E = 1 mυ 2， E = 1 mυ2，

k1 2 1 k 2 2 2

因此

1 mυ2 2

Ek1

E k2

= 2 1

1 mυ2 2

2

由于自由落体的末速υ=gt，得

E (gt )2 t 2

k1 = 1 1 。

Ek 2

(gt 2 ) 2

已知

动能比

t1=1s，t2=2s，

Ek1

E k2

= 1 。

4

如图 7-4 所示，在光滑的水平面上一个质量为 m 的物体运动到 A 点时的速度为υ0，此时受到一个与速度方向一致的水平恒力 F 的作用，经过一段位移 s 到达 B 点时物体的速度为υ1。在上述过程中，恒力 F 对物

体做的功

W=Fs，

υ2 − υ2

因为 F = ma，s = t 0 ，

2a

υ 2 − υ2

所以 W = Fs = ma 1 0 = 2a

1 mυ 2 −

2

1 mυ2。

2

式中的 1 mυ2叫做物体的初动能； 1 mυ2 叫做物体的末动能；

2 0 2 t

  1. mυ2 − 1 mυ2 叫做物体的动能的变化量。用∆E

表示。从式中可以

  1. t 2 0 k

看出，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即

W=ΔEk。

由此可见，物体动能的变化可以用外力对它做功的多少来量度。

[例题 7．3] 汽车的质量是 1200kg，在光滑水平的道路上行驶，当速度从 5m/s 增加到 15m/s 的过程中，发动机对汽车做了多少功？（设阻力可忽略不计）

解 由于 m=1200kg，υ1=5m/s，υ2=15m/s，发动机对汽车做的功就等

于汽车动能的变化量，即

W = 1 mυ 2 − 1 mυ 2

2 2 2 1

= ( 1 × 1200 × 152 − 1 × 1200 × 52 )J

2 2

= 1.2 × 105J。

如果物体所受外力的方向跟物体运动的方向不在一直线上而成某一角度，怎样计算外力对物体所做的功呢？

如图 7-5 所示，在水平面上有一个质量为 m 的静止物体，在恒力 F 的作用下开始运动。已知力 F 与水平面成 pθ角，通过位移 s，力 F 对物体做了多少功？

我们可以先把力F 分解成一个水平的分力Fx=Fcosθ和一个竖直的分

力 Fy=Fsinθ，即把 Fx 与 Fy 两个力来等效替代力 F，则 Fx 与 Fy 共同对物体所做的功跟 F 对物体所做的功是等效的。由于物体在 Fy 方向上没有位

移，所以 Fy 对物体不做功。Fx 对物体做功，所以力 F 对物体所做的功

W=Fxs=Fcosθ·s。从以上的分析可以得出功的一般计算公式

W=Fscosθ，

式中θ是力 F 与物体位移 s 之间的夹角。

由公式 W=Fscosθ可知：当 0≤θ＜90°，W＞0，外力 F 对物体作正功；当θ=90°，W=0，外力 F 对物体不做功；当 90°＜θ≤180°，W＜0， 外力 F 对物体作负功。

[例题 7．4] 质量为 5kg 的物体，在光滑水平面上以 8m/s 的速度运动，当受到一个与位移方向成 60°角、大小为 20N 的力作用后，继续沿直线运动 9m 时物体的速度是多少？又，如果力的方向与位移方向成 120

°角，发生相同的位移时，物体的速度又是多少？ 解 根据 W=Fscosθ，

1 2 1 2

W = Ek2 - E k1 = 2 mυ t − 2 mυ0

得 Ek2 = E k1＋W

1 2

所以 υt =

= 2 mυ 0 + Fscosθ

= ( 1 ×5×82 + 20×9×cos60°)J

2

= (160 + 90)J

= 250J，

= 2 × 250m / s = 10m / s。5

又力的方向与位移方向成 120°角时

E′ = 1 mυ2 + Fscos120 °

k 2 2 0

= [ 1 × 5 × 82 + 20 × 9 × (− 1 )]J

2

= 70J，

所以 υ∋t = =

2

2 × 70 m / s = 5.3m / s。

5