一场有趣的争论

林德春

数学联欢会上，小王、小张、小莹三位同学为了一个问题争论开了。 问题是这样的：李伯伯是粮食仓管员，他管理着 10 个库房。一天，他把

10 个库房的 10 把钥匙搞乱了，这 10 把钥匙所开的锁外形一样，他只好逐个

去试开。问，在最坏的情况下，要试开多少次才能把 10 把钥匙和 10 把锁对上号？

小王第一个说：“这道很容易的数学题。在最坏的情况下，一把钥匙要对上一把锁，需要试开 10 次，10 把钥匙要对上 10 把锁必须试开 10×10＝100次。

“这个答案是错的。”小张反驳道，“在最坏的情况下，用第一把钥匙试 10 次就会对上一把锁，剩下 9 把钥匙和 9 把锁，试开 9 次就会对上一把锁，

接着试开 8 次，⋯⋯依次类推，第十把钥匙只需试开一次就会对上第十把锁。所以，我认为只需试开 10＋9＋8＋⋯⋯＋1＝55（次）。”

小张的说法似乎很合理，立即赢得了小王的赞同。不料，小莹却说：“其实，你们这两种说法都是错误的。”

“为什么？你说说看。”小张不服气地问。

小莹分析道：“你们忽略了 10 把钥匙恰是开这 10 把锁的条件。请注意，

如果用上这一条件，那么，在最坏的情况下，第一把钥匙最多试开 9 次。如

果 9 次都对不上，那么就不必再试，这一把钥匙一定就是剩下的一把锁的。

依此类推，第二把钥匙最多试开 8 次⋯⋯第九把钥匙最多试开一次，最后剩

一把钥匙和一把锁可以不用试。这样，在最坏的情况下，要把 10 把钥匙和

10 把锁对上，只须试开 9＋8＋7＋⋯⋯＋1＝45（次）。”

小张、小王听了小莹的分析，都信服地点了点头。一场有趣的争论结束了。