统一场：引力场和电磁场

正如我们所已经知道的，最简单的两种场统一的例子是电场和磁场的一。这种统一的取得是通过引入一个四维矢量（A1，A2，A3，A4=

i， ψ）和张量

c

Fμν

= ∂Aν

∂xμ

• ∂A μ

∂xν

其分量给出了两个三维矢量 E，B 的 6 个分量。在这个例子中，闵可夫斯基四维空间是平直的，即电磁场不影响自由场空间的度规。这一统一不仅“令人愉悦”，而且也是狭义相对论理论的必要成分。

在爱因斯坦的引力理论中，牛顿的万有引力“作用”被看作是四维空间的内禀性质，即“引力”是植根于时空结构的度规性质中的。这可以与电磁相互作用作一对照。在他完成引力理论（1916 年）后不久，爱因斯坦就开始考虑电磁场和引力场的统一。从上所述，我们可以看出这一问题的困难性质。爱因斯坦后来在这个问题上花费了大量精力。

关于这种统一的第一个理论，是由数学家 T．卡鲁查发表的；他的手稿于 1919 年（？）交给爱因斯坦，并由爱因斯坦于 1921 年送去发表。卡鲁查提出了一个五维世界，具有度规

dσ2=gαβdxαdxβ，α，β=1，2，3，4，5

其中 gαβ被假设具有简单的形式

A1

gαβ=A2

A3 A4

其中（A1，A2，A3，A4）是电磁场的四维矢势，而 gμν（μ，ν=1，2，3， 4）是（爱因斯坦理论中的）四维（黎曼）空间的度规张量分量。所有 g _αβ都假定分别为 x1，x2，x3，x4 的函数。场方程（通过扩展爱因斯坦理

论）假定为

R − 1 g R = −kT

αβ 2 αβ αβ

其中 Rαβ是（收缩后的）黎曼张量，Tαβ是排除了纯电磁学部分的能量— 动量张量。通过对一质量为 m、电荷为 e 的单个粒子的情况作特殊简化，

T = mu u ，u

= dx α

αβ α β α dσ

于是对α，β=1，2，3，4，人们得到引力场方程；对α，β =1，2，3，4， 5，人们得到麦克斯韦方程；此时人们须确定μ5=e/m。mμα是五维动量

—能量—电荷矢量。

五维理论是有趣的，但结果多少来自对 gαβ构造的不同假定。爱因斯坦于 1923 年致力于继续研究这一理论，但在 1926 年，O．克莱因发展

了卡鲁查的理论，并把新发展起来的量子力学结合进来。爱因斯坦于 1929

年与爱丁顿一起致力于五维理论；于 1930 年至 1932 年间与 W．迈耶尔致力于它；于 1938—1941 年间又与 P.柏格曼和 V.柏格曼致力于它。此后不久，他放弃了这条研究途径。

由克莱因的工作和以后的发展，人们认识到把量子力学原理与五维理论联系起来，只会使电磁场和引力场的统一更加复杂化。看起来广义相对论与量子力学的结合是没有希望的（泡利，1955 年）。场理论在爱因斯坦的意义上是决定论的，因而不能以一种根本的方式与其基础为不确定性原理的量子力学相混合。近年来，统一引力场和其他已知场（电弱的和强的）的尝试采取了新的方向（见下面第 7 节）。