相对论形式的经典动力学

在第四章第 3 节中我们已指出，牛顿运动方程在洛伦兹变换下不是不变的。不过，我们可以重新表述运动方程，以使其成为不变的。

我们注意到，在洛伦兹变换下，ds2=c2dt2－(dx2+dy2+dz2）是不变的。在静止系中(粒子在其中处于静止状态），dx=dy=dz=0，且称为本征

时间的时间τ由以下方程给出

ds2=c2dτ2 在粒子在其中速度为 v 的系统中，

ds2=c2dt2(1－β)2

即 dt = rdτ，r =

1 ，β = v c

且 dx4

ds

= icdt = ir ds

质量密度ρ与静止质量密度有下述关系〔参见前述附录 1 中 3），电荷密度〕

ρ=rρ0

且 ρd3x=rρ0d3x=ρ0d3x0

这里的 d3x 是三维体积元。

令

u = dxμ

^μ ds

f(f ，f ，f ） = 作用在单位体积物质上的力， c f = 对单位体积物质所

1 2 3

作功的功率，

Rμν

≡ ρ 0

i 4

c²u u

Tμν ≡ R μν + Sμν

∂Sμν

∂xν

现在

= −fμ

∂R μν

∂xν

且

= c²u

  ∂ (ρ u

μ ∂x 0 μ

) + ρ

c ²u

∂uμ ^μ ∂x

  ∂R (ρ u

) = ∑

  ∂ ( ρ

∂x j ∂x4 ) +   ∂ (ρ

∂x4 )

∂x ^ν

j= 1

∂x j

⁰ ∂x ∂s

∂x4

⁰ ∂s

= 1 〔div(ρv) + ∂ρ 〕

c ∂t

因此连续性方程导出 ∂Tμν = 0

∂xν

方程

现在导出

∂Tμν = 0

∂xμ

ρ c²u

∂uμ ^ν ∂x

• fμ = 0

或 ρ 0

c2 du μ

ds

= fμ

，μ = 1，2，3，4

这是矢量形式的运动方程。

在该方程两边乘以d³x = 1 d ³x，并且对物质（ρ V

= m ）的体

0

1

积V0 = V积分，我们就得到

0 0 0

m c 2 du μ

= r f d ³x ≡ F

⁰ ds

这里 Fμ是一个四维力矢量。

∫ μ μ

这个运动方程在相对论形式中可以写成另一种形式。让我们定义一个四维速度

V（ dx1 ， dx 2 ， dx3 ， dx4 ）

从 dt

dτ

= r，我们有

dt dt

dt dt

V=V（rvx,rvy,rvz,icr）

且 du_s = 1 d ( dx μ dt =



1. dVμ )

ds c² dτ dt dτ

c ² dτ

此时四维矢量形式的运动方程便是

d (m V ) = F

dτ 0 μ μ

从这个关系式，我们得出一个意义深远的推论结果。三维力（即在三维空间内）由下式与 F1，F2，F3 相关

fk=Fkr，k=x，y，z 而通过下式使三维速度 v 与 Vx，Vy，Vz 相关

vk=Vkr，k=x，y，z

因此（F·V）=0 给出

r ² (f·v) +

dτ ( m0 icr)icr = 0

或 = (f·v)

m c²

该方程表示，量 ⁰ 增加率等于力f（在质量m

m c²

0 上）所作功的功率。

这导致把 ⁰ 解释作动能T，出现一个附加常项，例如

T = m c ²〔 1

− 1〕 ≡ (m − m0

)c ²