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移除书签矩阵力学
现在让我们回到恰好早于薛定谔 1926 年初工作的 1925 年。1925 年夏，W.海森伯作为格丁根的玻恩的助手，访问了玻尔的理论物理研究所， 与克喇末一起研究量子色散理论。他估量了量子理论的困难并寻求一种新的途径。他争辩说玻尔理论应用了不可直接观察的概念，例如电子轨道的半径和频率等，并表示要构造一个其中只有直接可观察量出现的理论—— 一种数学模式。这点他是受了爱因斯坦所坚持的物理理论中全部概念的 “操作”意义的观点的影响（第四章）①。因此，他引入了可观察的光谱频率和强度，前者服从里兹组合原则
νmn=νmk+νkn
如果频率能表示为（经验）项值之差，
νmn=Tm－Tn
上述原则即可满足。对应于频率的“二维”本性，海森伯用量
q 0 exp(2πiν t)
mn mn
的二维排列取代经典理论中的傅里叶分量 qneinωt，而傅里叶级数的现实
性由要求
q 0 = q 0*
mn mn
所表示。里兹原则，加上基于玻尔对应原理精神的考虑，即可导出对二维
排列的乘法规则
(xx) mn
= ∑x mj x jn j
即使仅凭这些初步的想法，海森伯已能得出许多成果（1925 年 7 月）， 例如，求一个谐振子的能量，与普朗克的表式 En=nhν相对照，可以得出
E = ( n + 1)hν
n 2
海森伯把论文手稿交给了格丁根的玻恩，玻恩认识到海森伯的乘法规则正是矩阵的乘法规则，他与一个年轻的数学家 P．约旦一起，进一步发展了海森伯的思想（1925 年 9 月）。现在，由于两个矩阵 p、q 一般是不对易的，即 pq-qp≠0，问题首先就在于，如果 p 和 q 是共轭对动量和坐标的矩阵，那么 pq.—qp 的差应当是什么？从对应原理的观点和经学
中的作用量
= ∫ pdq出发，玻恩和约旦作出了下述基本假定
pq − qp =
h 2πi I
位矩阵。（这里重要的是要注意 p、q 是连续的和无限的矩阵。）p 和 q 的不可对易与普朗克常数 h 的出现立即表明，这一关系在本质上是非经典的。这种“对易关系”已成为量子力学的一个基本假设（见第十章）。
玻恩和约旦（1925 年 9 月）及稍后玻恩、海森伯和约旦（1925 年 11 月），通过假设运动方程具有经典力学中的正则形式
q&= ∂H ，P&= − ∂H
∂P ∂q
共同完成了矩阵力学，其中 H 现在是从经典哈密顿函数中用矩阵取代 q、p 并使其对称，以保证 H 的厄密性质而得出的（参见书末附录 8）。
在这些论文中，还借助于幺正矩阵 U，由变换理论保证了 W=U－1HU 的厄密性，微扰理论和各种应用也都发展起来。对氢原子的矩阵力学探讨则由泡利（1925 年）作出。
海森伯、玻恩和约旦的矩阵力学，完成于 1925 年 7 月、9 月、11 月的一系列论文中。薛定谔的系列论文发表于 1926 年 1 月、2 月、5 月和 6
月。薛定谔还于 1926 年 3 月指出矩阵理论和波动理论在数学上是等价的。这一等价性的证明实在是很简单的。
薛定谔方程可由对哈密顿—雅可比方程作形式代换，变 px，py，
p 为 h
∂ ， h ∂
， h ∂
所得出，而这时矩阵力学的对易关系
z i ∂x
i ∂y
i ∂z
pq − qp = h E
i
被看作算符方程
∂ x − x ∂ = h
∂x ∂x j
其后，证明即由表明积分
具有矩阵元的性质
Fmn
≡ ∫ ψ* Fψ dq
(F + G) mn = Fmn + G mn
得以完成。
(FG) mn
= ∑Fmi Gin i
狄拉克在发表于 1925 年 11 月、1926 年 1 月和 7 月的一系
列论文中，提出另一种处理非对易数（q 数）的更一般的理论。由经典的泊松括号表式和对应原理，得出了玻恩—海森伯的对易关系。
还应谈到狄拉克的变换理论（1926 年），它隐含着变换矩阵元的概率幅诠释，也是朝向不确定性原理的重要一步。
从历史的意义上，下述故事可能是有趣的。1925 年夏，海森伯应邀到剑桥大学作报告。他的演讲不包括他正在研究的新理论。P.A.M.狄拉克出席了这次演讲。海森伯 7 月论文的一个副本（以长条清样的形式）被送给 R．H．富勒教授，教授把它交给狄拉克看。在这篇论文中，“矩阵” 的名字尚未出现，但论文却使狄拉克回想起经典力学中的泊松括号表示， 立即去图书馆阅读有关泊松括号的文献，并激发他写下了关于（服从一种非对易代数的）q 数的理论的一系列论文（1925 年 11 月，1926 年 1 月和6 月），由此发展起一种普遍的量子力学，波动力学和矩阵力学都是这种量子力学的特殊形式。狄拉克还把δ函数引入了量子力学，尽管它曾为基尔霍夫（1882 年）于光波理论中、为亥维赛（1893 年）于电磁学理论和在一点上有单一负载的振动弦理论中应用过。单一的δ函数是非常有用 的，特别是在狄拉克（1926 年 12 月）和约旦各自独立发展起来的变换理论中。
