公设 4．当一个物理系统在态｜a〉时测量其一物理量 Q，则期望值为

〈Q〉＝〈a｜Q｜a〉

注释（1） 这个公设把前三条公设中引入的数学概念与测量结果联

系起来，是量子力学体系的主要物理内容。

注释（2） 让一个系统在态｜a〉时测量其一物理量 Q。用 Q 的本征矢的完全系〔公设 2，注释（5）〕来表示｜a〉，我们得到

〈Q〉＝〈a｜Q｜a〉＝∑ ∫

k

│ < a│q

  • │ 2dq

作为测量结果，任何一个本征值 qk 都有可能出现，其出现概率为｜〈a｜ qk〉｜2。仅当一个系统处于 Q 的一个本征态｜qk〉时，才能肯定测量 Q 的结果精确地为 qk。

这是一个非常重要的结果，它根本违背经典物理学的基本原理。一般而言，它否认了预言测量结果的准确值的可能性，只给出了所有可能出现值的相关概率；而这种精确知识的缺乏并非是由于人们必须处理大数量原子（如同在经典气体动理论中，人们为实用方便引入概率概念）；在这里， 即使对一个原子也必须应用概率概念，即概率概念在量子力学中是内禀 的。这一结论按公设 4 是不可避免的（参见书末附录 10）。

注释（3） 由公设 3 的对易关系和概率公设 4，韦耳（1928）推演出不确定性关系

h

△x△p x ≥ 2π

注释（4） 人们可能要问：概率公设是否为量子力学作为一自洽体系所必需？

如先于公设 4 的段落和上述注释（1）所述，前三项公设 1、2、3 并不构成一个完备的理论，因为“算符”、“态矢”和“对易关系”还必须与对物理测量结果的预言和描述相联系。这些联系是由概率公设所提供的。没有这一公设，这个理论确实是不完备的。

概率公设的一个最重要推论，是它与对易关系一起，导出了不确定性关系，即概率公设是与互补思想一致的，而后者是哥本哈根学派量子力学的基本原理。从量子力学的内禀一致性观点看，这当无问题，但当排斥公设 4 而把前三项公设 1、2、3 称为“互补的公设”时，却引出了一个逻辑问题；因为如果公设 4 是互补思想的一个独立公设，那么就不应出现一致性问题。因此我们必须把概率公设与前三项公设一起，看做一个自洽的体系；把公设 1、2、3 称做“互补的公设”在逻辑上是不正确的，而仅仅是为了用以强调它们在表达互补思想方面的作用（参见书末附录 11）。

关于公设 4 形式的概率公设是否必需的问题，确实是一个涉及量子力学自身基础的深刻问题。我们将在第十二章再回到这个问题的讨论上来。