概率公设与互补公设之间的一致性

互补公设的若干数学推论是：

1. 两个算符具有共同的本征态的必要和充分条件是：算符对易（ 特殊情况除外）。

2. 一个厄密算符的本征态形成一个完全集。 因此，如果 AB－BA=0，则 A，B

   具有共同的本征态

Aun=anun，Bun=bnun

此处 an，bn 是本征值，un 是本征函数。

如果对一个系统测量 A，而该系统处在 A 的一个本征态 un，则按概率公设，测量结果有一个确定性的值 an。

< A >=

∫ u^* Au dτ = a

在状态 un 中对 B 的测量则确定性地是 bn。

但如果我们测量 C，而对 C 有 AC－CA≠0，那么 C 的期望值可作如下计算。令 C 的本征函数是 vn。

Cvn=cnvn

un 能展开为 vn 的完全集

u = ∑S v ，∑│S

│ ² = 1

n nj j nj j j

求和包括对谱 Vj 的连续部分的积分。这时我们得到非常重要的结果，甚至对一个单原子而言也有

< C >= u^* Cu dτ = ∑S S v^*Cv dτ = ∑ │S │²c

∫ n n nj nk ∫

j,k

j k nj j

j

这就是说，C 不是确定性地知道，C 的每个本征值 Cj 都可以概率│Snj│2 获知。这个结果是与互补公设一致的，

即正则对p，q服从pq－qp = h

2πi

和不确定性关系。